Gompertzlan模型


在某些情况下，Verhulst模型与实测数据吻合得 不好，模型的理论增长率下降得过快，小于实际 增长率。 这时我们可以考虑将相对增长率从n的线性函数修 改为n的对数函数，即把相对增长率取为 f(n) = - k ln(n/N) (11) 其中负号表示随n的增加而减少，但不是线性关系， 而是与n在极限值中所占比例的对数有关。 由此得到微分方程 n’(t) = - k n ln(n/N) (12)
模型二

n’(t) = k n (1 - n/N ) (7) 利用分离变量法，上述方程可以化为(9)
dn n (1n / N )
kdt

由此可以解出(10)
n0 n0 / N (1n0 / N ) exp( kt )
n(t )
ห้องสมุดไป่ตู้
1( N / n N 1) exp( kt )
模型一

n(t) = n(0) ekt (2) 据临床观察1，可令n(0) = 1011；据临床观察2， 设细胞增加一倍所需时间为T，则有 n ( t＋T ) = 2 n ( t ) (3) 将(2)式代入(3)式后，有 T = ln2 / k 。 由此可以得到肿瘤细胞的生长规律为 n(t) = 1011 e t ln2 /T =1011 2 t/T (4) 上面得到的模型称为指数模型，它能够很好地反 映临床观察1和观察2。但是该模型未能反映出临 床观察3，因此需要进一步修改。
模型二



Verhulst-Pearl阻滞方程的意义也可以作如下理解： k是肿瘤的固有增长率(Potential rate)，即如果没 有生理限制而且细胞之间互不影响时的增长率。 由于有生理限制和细胞之间的相互影响，存在一 个最大可能的细胞数目N。细胞数目为n的肿瘤中 还未出生部分所占的比例为1－n / N 。 因此，肿瘤细胞数目的实际增长率应为其固有增 长率乘以上述比例，即 k (1 – n/N ) (8) 这个结果与方程(7)完全一致。
肿瘤的生长规律
倪致祥 教授
问题



恶性肿瘤是目前威胁人类的一个主要的杀 手，研究恶性肿瘤的生长规律，有助于人 类认识其生长特点，寻找控制消灭它的措 施。 为了定量地研究肿瘤的生长规律，我们希 望建立一个肿瘤生长的数学模型。 建立数学模型的第一步是从实践的观察结 果出发。
观察数据

通过临床观察人们发现肿瘤细胞的生长有下列现 象：
模型二

考虑到临床观察3，我们需要对指数模型进行修正。 荷兰生物数学家Verhulst提出设想：相对增长率 随细胞数目n ( t ) 的增加而减少。 若用N表示因生理限制肿瘤细胞数目的极限值，f ( n ) 表示相对增长率，则f ( n ) 为n的减函数， 为处理方便，令f ( n ) 为n的线性函数： f(n) = a – b n (5) 显然当 n = N 时，f (n)＝0； 假设当 n = 0 时，f (n) = k，代入上式即可解得 a = k, b = k / N (6)
模型一





设时刻t肿瘤细胞数目为 n ( t ) ，由观察2 我们可 以假设肿瘤细胞的增长速度与当时该细胞数目成 正比，比例系数（相对增长率）为 k 。则可以得 到如下方程： n’(t) = k n (1) 其解为 n(t) = n(0) ekt (2) 据临床观察1，可令n(0) = 1011；据临床观察2， 设细胞增加一倍所需时间为T，则有 n ( t＋T ) = 2 n ( t ) (3)



1. 按照现有手段，肿瘤细胞数目超过1011时，临床才 可能观察到。 2. 在肿瘤生长初期，每经过一定的时间，肿瘤细胞数 目就增加一倍。 3. 在肿瘤生长后期，由于各种生理条件的限制，肿瘤 细胞数目逐渐趋向某个稳定值。

根据上面的观察结果，你能不能建立一个简明的 数学模型，来描述恶性肿瘤的生长规律？
模型二


a = k, b = k / N (6) f(n) = k ( 1 – n/N ) 则n (t) 满足微分方程 n’(t) = kn (1 - n/N ) (7) 该方程称为Logistic模型或者Verhulst-Pearl阻滞 方程，广泛应用于医学、农业、生态和商业等领 域。 Verhulst-Pearl阻滞方程的意义也可以作如下理解： k是肿瘤的固有增长率(Potential rate)，即如果没 有生理限制而且细胞之间互不影响时的增长率。
Gompertzlan模型

由此得到微分方程 n’(t) = - k n ln(n/N) 解为 n(t) = n0 [N/n0] 1-exp(-kt)

(12)
(13)

在肿瘤生长初期，t～0，exp(-kt)=1-kt 因此有 n(t) = n0 (N/n0)kt 容易验证 每经过一定的时间，肿瘤细胞数目就增加一倍； 在肿瘤生长后期，t ，n ( t ) N ，即肿瘤细胞数目 逐渐趋向某个稳定值。 这些与观察结果完全一致。
0
模型二
n(t )

n0 n0 / N (1n0 / N ) exp( kt )
1( N / n
N 0 1) exp( kt )


由上面的结果，n (0) = n0 = 1011 ； 在肿瘤生长初期，t～0，因此有 n(t) = n0 ekt 容易验证 n ( t＋ln2/k ) = 2 n ( t ) ，即每经过一定 的时间，肿瘤细胞数目就增加一倍； 在肿瘤生长后期，t ，n ( t ) N ，即肿瘤 细胞数目逐渐趋向某个稳定值。 这些与观察结果完全一致。
一般模型

本世纪80年代，有人对肿瘤生长规律提出了更一 般的模型： n’(t) = (kn/a)[1-(n/N)a], a≥0 (14) 其解为 n(t) = N{1+e-kt[(N/n0)a-1]}-1/a (15) 显然当a = 1时，我们回到了Logistic模型；而当a 0时，我们又可以得到Gompertzlan模型。由于 参数 a 可以在大于零的范围内任意取值，故上述 模型具有高度的一般性和广泛的适应性。