采样计算方法测量交流电压有效值误差分析李沂乘（北京东方计量测试技术研究所，北京 100086）摘要：分析了利用采样计算方法测量交流信号有效值的主要误差因素。

对于计算方法、周期误差、A/D转换器量化误差和A/D转换器积分非线性误差这四种主要的误差来源如何影响电压有效值测量结果进行了定量分析，在实际应用的过程中可以有针对性的采取措施来减小误差因素对测量结果的影响。

关键词：采样计算；有效值；误差分析Error Analysis of Sampling Computation Method for RMS MeasurementLI Yicheng(Beijing Orient Institute of Measurement & Test, Beijing 100086, ChinaAbstract: The error genesis, measuring effective value of AC signal with sampling computation method, is analyzed in this paper.Four primary geneses, including computation algorithm, measurement errors in non-synchronous, quantization errors of analogue digital converter (ADC, integral nonlinearity errors of ADC, are discussed; meanwhile, expressions are given in this paper. The result may be taken as a reference for minimizing influence caused by such errors.Keywords: sampling computation; effective value; error analysis 交流电压有效值的测量方法有很多种，对于低频以及超低频信号电压有效值的测量，目前比较常用的是基于采样计算的测量方法。

这主要是因为用常规的测量方法和模拟技术不但要求测量仪表本身具有极高的稳定性，而且仪表极长的响应时间和不合理的电路元件参数使得测量在某些场合很难实现。

采样计算的测量方法克服这些传统不利因素的同时也产生了新的问题，分析误差因素对测量结果的影响方式，就能够在实际测量时更有效的避免这些因素的影响，有利于减小测量的不确定度。

本文对影响采样计算方法的主要误差因素进行了定量分析。

1计算方法的影响根据有效值的定义，在一个信号周期内，通过某纯阻负载所产生的热量与一个直流电压在同一负载上产生的热量相等时，该直流电压的数值就是交流电压的有效值。

数学表达式如式（1）所示：∫=Trms dt t u TU 02 (1 (1（1）式中的T 是交流信号的周期，u(t为电压瞬时值。

通常把由（1）式所确定的电压有效值称之为被测电压u(t的真有效值。

在数字化测量系统中，首先要根据采样定理对u(t进行等间隔采样，获得一个时间离散信号序列后再通过数值积分来求u(t的真有效值，若对上述u(t信号在一个信号周期T 内以N T t /=Δ等间隔采样N 点，得到一个离散信号序列：( (t n u n U Δ⋅=, 1, , 2, 1, 0(−⋅⋅⋅=N n (2则（1）式中的积分式采用不同的数值求积公式后可以获得电压真有效值的不同算法。

如果以数值积分中的梯形公式]1[]( ([2(b f a f ab dx x f ba+−≈∫(3 把u(t按时间坐标划分为N 等分，每一等分的边界值就是（2）式所示的采样点U(n。

若由相邻两个采样点的连线、他们分别与时间轴的垂线、采样点间的时间轴构成一个梯形，则可组成N 个梯形。

对他们重复使用（3）式便可得到复化梯形求积公式。

其电压真有效值为：∑−=++⋅Δ⋅≈1022]1( ([21N n rmsn U n U t T U (4由于u(t是周期信号，将U(N=U(0代入（4）式并经过简化，可以得到便于微处理器实现的公式：∑−=≈12(1N n rms n UNU (5采用复化梯形求积公式来计算电压有效值时，是由和式来代替积分，不可避免的会产生积分余项。

根据复化梯形公式的误差估计只有当0→Δt 即∞→N 时，积分余项才能趋近于0，而这一条件在现实的测量过程中是不可能满足的。

所以要分析采样点数对最终测量结果的影响，根据测量不确定度的要求选取合适的采样点数。

为了简化分析，假设被测信号为标准的正弦信号，表达式为t U t u m ωsin (=（m U 为信号的幅值，T /2πω=，T 为信号周期）。

首先令∫=Tdt t u T V 02 (1，V 在一个整周期内的绝对误差为V Δ。

根据复化梯形公式的误差估计公式可以得到：( (12' ' 2ηf t TV Δ=Δ, T ≤≤η0 (6 由此可得2222322332 2cos(2 2(12m m V U N U T N T πωηπ≤=Δ，所以电压有效值在整周期内的绝对误差为：rmsV V rms rms U dV dU 2Δ=Δ=Δ rms rms m U NU N U 2222232232ππ=⋅= (7 由此可得电压有效值的相对误差为： 2232N U rms rms rmsπδ=Δ= (8 由式（8）可知积分余项与每个周期内采样点数的平方成反比，N 越大测量结果的准确度越高。

如果每个周期内的采样点数多于256个，则测量结果有优于0.01%的准确度。

2周期误差的影响从式（5）得到的过程可以看出，如果要按照此式进行采样计算则需满足U(N=U(0，即被测信号的周期总是可以被采样频率N 等分的。

但是，由于采样时钟的频率是一定的，而且不可能无限制的高，那么就不可能每次采样都满足简化时的条件。

假设采样间隔为t Δ弧度，一个周期内采样点数为N ，那么t N T Δ⋅−=Δ并不总是为零，或者说总是不为零，其中Δ就称作周期误差。

由于周期误差的存在，会对测量结果在上述分析的基础上带来额外的影响。

设被测电压信号为sin( (t U t u m ω=，在一个周期内以采样周期t Δ在N 个点进行采样，设第一个点的位置在α（假设4/0πα<≤）处，则各采样点位置为t i t i Δ⋅+=αω，1, , 1, 0(−⋅⋅⋅=N i (9各点的瞬时采样值为sin( (t i U t u m i Δ⋅+=α则有效值的平方为：∑−=Δ⋅+−=122]2 22cos(1[N i m rmst i NU Uα ] (Re 11[2122(2∑−=Δ⋅+−=N i t i j m e N U α (10 其中Re （. ）为取实部，上述等比级数求和并取实部得1(222c U Um rms+= (11 其中c 为由周期误差引起的电压有效值平方的相对误差]2[sin(2cos(sin t N t c ΔΔ−Δ+⋅Δ=α (12由式（12）可以知道当0=Δ或者2/2πα=Δ−Δ+t 时周期误差为零。

可见周期误差与采样点的起始位置相关，由于t Δ−Δ相对较小，可以认为在4/πα≈时，周期误差达到最小。

3 A/D转换器量化误差的影响在高精度电压有效值测量的过程中，A/D量化误差的影响不可忽视。

下面分析测量过程中A/D转换器量化误差的传递。

对于一个动态范围为2D （峰-峰值），转换位数为m 位的A/D转换器，一个量化单位对应的模拟量q 为D Dq m m ⋅==−− 1(222(13 一般认为量化误差e 是在[-q/2，q/2]内均匀分布的随机变量，其概率密度函数如图1所示，该随机变量的数学期望E （e ）和方差分D （e ）别为0 (=e E (14 12/ (2q e D = (15图1：量化误差的概率密度函数由于A/D转化器的量化误差，实际上A/D转化器输出得到的离散值为un e n U n U +=∧( ( (16其中 (n U 为A/D转换器输入端的模拟值，un e 为A/D转换器的量化效应产生的量化误差。

考虑量化误差后式（5）变化为∑−=∧∧=102(1N n rms n U NU∑−=+=102] ([1N n unen U N(17令2rms NU Y =，则可得到∑−=∧∧+==1022] ([ (N n un rms e n U U N Y (18 因为un e 为随机变量，故∧Y 也为随机变量，根据方差的性质22]([ ( (∧∧∧−=Y E Y E Y D}] (({[212∑−=+=N n un e n U E212]} (([{∑−=+−N n un e n U E (19经过化简后可以得到]3[∑−=∧+=14221801 (31 (N n q q n U Y D4218031q N Y q += (20 这样4218031q N Y q Y+=∧σ (21 假如以σ3±作为误差带宽，则由于A/D转换器的量化误差引起的相对误差rms δ为YY rms∧±==σδδ32121 444222180323mm U qf U q f +±= mU qN f 23±≈ (22其中cx f 为被测信号的波峰因数，m U 为信号的峰值。

式（22）也说明被测信号的峰值、波峰因数对测量的准确度是有影响的。

为了减少测量误差，应尽可能将信号的峰值放大到A/D转换器的满度值。

若被测信号为正弦信号则波峰因数为2，同时假定信号的峰值取A/D转换器动态范围的1/2，可以推导出NN f m cxm rms 6232−−==δ (23 式（23）说明当测量交流信号有效值时，采样点数多于6就可以使得A/D转换器量化误差引起的测量误差小于转换器本身的量化误差。

当N=600时，量化误差引起的测量误差仅为A/D转换器的十分之一。

4 A/D转换器积分非线性误差的影响A/D转化器的积分非线性误差造成的影响是使采样点得到的数据不准确。

对于一个动态范围为2D （峰-峰值），转换位数为m 位，积分非线性误差最大是L 个LSB 的A/D转换器，做如下假设：①被测信号为标准的正弦信号，表达式为t U t u m ωsin (=（m U 为信号的幅值，T /2πω=，T 为信号周期）；②设每个采样点得到的数值的绝对值都比实际值的绝对值增大了L 个LSB 即Lq INL =Δ（其中q 为一个量化单位）。

令2](sin [120222mT m rms U dt t U T U V =⋅==∫ω，则可以得到∫Δ+=∧2/02] ([2T INL dt t u T V ∫Δ+Δ+=2/022 (2 (2T INL INL dt t u t u T dt t u t u T T INL ∫Δ+≈2 /02 (2 (2 πINLm U V Δ+=4 (24则V 的相对误差为 mINLV U VVπδΔ=−=∧8 (25 假定信号的峰值取A/D转换器动态范围的1/2，可以推导出πδδLm V rms 8221⋅==− (26式（26）说明在极限情况下，由A/D积分非线性造成的误差是量化误差的π/8L 倍。