E ((1: 30) - (0 : 30)) 10
29
四、复合泊松过程



在人们的日常生活中，泊松过程往往不是单独存在的。 比如顾客到商店，不会只是在商店转一圈，往往会购物(当然，进 去转转不买也是有的)。 生产线的机器坏了，维修的时候会有维修费用。 参加保险公司的医疗保险人生病，保险公司会对其作出赔偿等。 这一系列的泊松过程都会有累积的事件参杂在其中。如果我们能 够将这些累积的事件和泊松过程联系起来，找出一定的规律，也 许就能成为解决某些生活规律的工具。例如，算出商店一天的营 业额，生产线一年的机器维修费用，保险公司的预备赔偿金的存 储额等。 因此，可以看出，前面多考虑的泊松过程，并未涉及到“泊松过 程质点”的大小，确定这些泊松过程质点的累积效果的随机过程 及其概率结构是有实际意义的。
非齐次泊松过程 复合泊松过程
主讲人：张建军
2015.5.01
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一、泊松过程的定义 二、齐次泊松过程 三、非齐次泊松过程 四、复合泊松过程
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一、泊松过程的定义
泊松过程是一类较为简单的时间连续状态离 散的随机过程。 一种累计随机事件发生次数的最基本的独立 增量过程。
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一、泊松过程的定义
泊松过程是由法国著名数学家泊松（Poisson,
0
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三、非齐次泊松过程
下面我们将从均值函数的层面解释非齐次泊松过程与齐次泊松过程 的不同之处： 在齐次泊松过程中，由于齐次性，即它的平稳增量过程，过程的 强度为λ，因此，在（s ，t＋s）内，其均值为λt。 在非齐次泊松过程中，由于非齐次性，即强度函数的为λ（t），因 此： t 在（0 ，t）内，均值为 (t ) 0 ( s)ds 在 (0, t t ) 内，均值为：(t t )
定理证明完毕。
4.12
23
三、非齐次泊松过程

关于非齐次泊松过程的几个实例： 例: 设某路公共汽车从早晨5时到晚上9时有车发出。乘 客流量是：5时按平均乘客200人/时计算；5时至8时 乘客平均到达率线性增加，8时到达率为1400人/时； 8时至18 时保持平均到达率不变；18时到21时从到达 率1400人/ 时按线性下降，到21时为200人/时。假定 乘客数在不相重叠时间间隔内是相互独立的，求12时 至14时有2000人 来站乘车的概率，并求这两小时内 来站乘车人数的数学期望。
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三、非齐次泊松过程


从这个例子可以看出，它符合泊松过程，即符合独立 增量过程，且在充分小的时间间隔内，最多只有一个 事件发生，而不能有两个或两个以上的事件同时发生。 但是，和齐次泊松过程比有一个条件变了，λ不再是 常数了。 在齐次泊松过程的讨论中，由于对齐次过程做了时齐 的假设，其均值函数 E（Xt）=λt 与t成正比，但是现实生活中不可能所有的事情都按齐 次泊松过程发生，因此引入了非齐次泊松过程。
3 3 1 (1: 30) - (0 : 30) ( ) - ( ) 12 (5 5t )dt 10 2 2 2
知：在0:30时至1:30时无顾客到达商店的概率概率
p{(1: 30) - (0 : 30) 0} e
-10
(10)0 e-10 0!
8:30至9:30有2000名乘客的数学期望是
Simeon-Denis）（1781—1840）证明的。 1943年C.帕尔姆在电话业务问题的研究中运用
了这一过程。 辛钦于50年代在服务系统的研究中又进一步发 展了它。
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二、齐次泊松过程
1.齐次泊松过程的定义： 称计数过程{X(t)≥0}为具有参数λ>0的泊松过程， 若它满足下列条件： ⑴X(0)=0; ⑵X(t)是独立、平稳增量过程; ⑶在任意长度为t的区间内，事件A发生的次数服 从参数λ>0的泊松分布， 即对任意s ,t≥0，有 n ( t ) P{X(t+s) -X(s)=n}= e- t ,n=0,1,2…
若令 p-1 (h, t ) 0 ,则当n=0时，（4.5）式就变为 （4.1）式，即（4.5）式对任意非负整数n均成立。 下面利用生成函数法求偏微分方程组（4.5）的 解。令
G(h, t , z ) pn (h, t )z
n 0

n
4.6
19
三、非齐次泊松过程
对每一n=0、1、2…，将（4.5）式两端乘以Z ， 然后对n求和即得
pn (h, t )
4.4
- (t h)spn (h, t ) (t h)spn-1 (h, t ) o(s)
用s除上式两端，并令s→0得
pn (h, t ) (t h)[ pn-1 (h, t ) - pn (h, t )] h
4.5
18
三、非齐次泊松过程
27
三、非齐次泊松过程
解: 将时间8时至5时平移为0到9时,依题意得顾客到达率为：
5 5t , = 20, 20 2(t 5), 0t 3 3<t 5 5t 9
乘客到达率与时间关系如图所示.
λ（t）
20
5 3 5 t 9 28
三、非齐次泊松过程
由题意,顾客的变化可用非齐次泊松过程描述. 从
3
13
16
三、非齐次泊松过程
由题意,乘客数的变化可用非齐次泊松过程描述. 从
(9) - (7) 1400ds 2800
7
9
知：在12时至14时有2000名乘客到达的概率
p{(9) - (7) 2000} e-2800
28002000 2000!
12时至14时有2000名乘客的数学期望是
p0 (h, t ) - (t h) p0 (h, t ) h
4.1
用s除上式两端，并令s→0得
由非齐次泊松过程的定义知，以上偏微分方程满 4.2 足下列初始条件 p0 (0, t ) 1
15
三、非齐次泊松过程
利用初始条件（4.2）式，对（4.1）积分得
p0 (h, t ) e t
G (h, t , z ) (t h)( z -1)G (h, t , z ) h
4.7
n
对(4.7)式积分得
ln G(h, t , z ) - ln G(0, t , z ) ( z -1)
t h t
( x)dx
4.8
20
三、非齐次泊松过程

由非齐次泊松过程的定义知
E{(9) - (7)} 2800
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三、非齐次泊松过程
例: 某商店每日8时开始营业，从8时到11时平均顾客 到达率线性增加，在8时顾客平均到达率为5人/时， 11时到达率达最高峰20人/时。从11时到13时，平均 顾客到达率维持不变，为20人/时，从13时到17时， 顾客到达率线性下降，到17时顾客到达率为12人。假 定不相重叠的时间间隔内到达商店的顾客数是相互独 立的，问在8：30到9:30无顾客到达商店的概率是多 少，在这段时间内到达商店的顾客数学期望是多少？
e n [(t h) - (t )] [- (t h )- (t )] n e z n! n 0
z[ ( t h )- ( t )] -[ (t h )- (t )]
4.11
22
三、非齐次泊松过程
将（4.6）式与（4.11）式比较得
[(t h) - (t )]n [- (t h )- (t )] pn内事A发生的平均个数， t
故称为此过程的速率或强度。
6
二、齐次泊松过程
齐次泊松过程的解释： 称计数过程{X(t)，t≥0}为具有参数λ＞0的泊松过程，若它 满足下列条件： ⑴X(0)=0; ⑵X(t)是独立、平稳增量过程; ⑶X(t)满足下列两式： P{X(t+h) -X(t)=1}=λh＋o(h), P{X(t+h) -X(t)=2}=o(h). 以上定义说明，在充分小的时间间隔内，最多有一个事件 发生，而不能有两个或两个以上的事件同时发生。也就是 说，要么事件发生一次，要么事件不发生。这是泊松过程 的核心概念。
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三、非齐次泊松过程

例: 设电话总机在早晨8时接到的电话呼叫数为20 个；8时至11时接到的电话呼叫数线性增加，接 到的电话呼叫数为50个;11时至15 时保持平均到 呼叫数不变; 15时到18时接到的电话呼叫数线性 下降,到18时为20个。接到的呼叫在不相重叠时 间间隔内是相互独立的,求9时至11时有30个呼 叫数的概率
p( X t h - X t n -1) p( X t hs - X t h 1) o(s)
pn (h, t )[1- (t h)s - o(s)] pn-1 (h, t )(t h)s o(s)
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三、非齐次泊松过程
于是， pn (h s, t ) -
n!
5
二、齐次泊松过程
解释： 独立增量过程：是指在每一个时间段内事件A发生的次数 是相互独立的。 平稳增量过程：是指计数过程N(t)在(t,t+s) 内(s>0)，事件A 发生的次数N(t+s)-N(t) 仅与时间差有关，而与时间段的起 始时间无关。 因此，齐次泊松过程是平稳增量过程且E[X(t)]=λt。

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三、非齐次泊松过程



首先，X(t)不再是平稳增量过程。也就是说， 计数过程N(t)在(t,t+s)内(s>0)，事件A发生的次 数N(t+s)﹣N(t)不仅与时间差有关，而且还与 时间段的起始时间有关。 其次，定义公式里不再是泊松过程的强度λ， 也就是说数学期望不再是E[ X(t)]= λt，而出现 了λ(t)，叫做强度函数。 t 因此，引入累积强度函数的概念: (t ) ( s)ds