泊松过程的几个例子

考虑某一电话交换台在某段时间接到的呼叫。令X(t) 表示电话交换台在 [0, t] 时间内收到的呼叫次数， 则{ X(t), t 0 } 是一个泊松过程。 考虑来到某火车站售票窗口购买车票的旅客。若记 X(t) 为时间 [0, t] 内到达售票窗口的旅客数，则 { X(t), t 0 } 是一个泊松过程。 X(t) 为某网站在时间 [0, t] 内的被访问次数。
分布函数：
s0 0, FW1 X ( t ) 1 ( s ) s / t , 0 s t 1, st
分布密度：
se s e (t s ) s t te t
1 / t , 0 s t fW1 X (t )1 (s) 其它 0,
例6
设{ X (t) , t 0 }是具有跳跃强度
(t ) 0.5(1 cost )
的非齐次泊松过程。求 E[X(t)] 和 D[X(t)]。
E[ X (t )] D[ X (t )] 0.5(1 coss)ds
0 t
1 0.5 t sin t
t 0 t0
E[ wn ] n 2 D [ w ] n n
[例1] 已知仪器在 [ 0 , t ] 内发生振动的次数 X(t) 是具有参
数的泊松过程。若仪器振动k (k 1)次就会出现故障， 求仪器在时刻 t0 正常工作的概率。
[解]
仪器发生第k振动的时刻Wk 就是故障时刻T ， 则T 的概率分布为 分布:
(3) 到达时间的条件分布
假设在[0 , t ]内事件A已经发生一次，确定这一事件到
达时间W1的分布 ——均匀分布
P{W1 s, X (t ) 1} P{W1 s X (t ) 1} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1, X (t ) X ( s ) 0} P{ X (t ) 1} P{ X ( s ) 1} P{ X (t ) X ( s) 0} P{ X (t ) 1}
0t 3 200 400t , (t ) 1400, 3 t 13 1400 400(t 13) , 13 t 16
mX (9) mX (7) (t )dt 1400d t 2800
7 7
9
9
28002000 2800 P[ X (9) X (7) 2000 ] e 2000 !
等待时间（到达时间）Wn
[定理] 设 {X (t), t 0 }是具有参数的泊松过程，{Wn , n1}
是对应的等待时间序列，则随机变量Wn 服从参数为n与 的 分布（又称为爱尔兰分布），其概率密度为
t (t ) n 1 e , fWn (t ) (n 1)! 0,
s C t
k n
k
s 1 t
nk
参数为 n 和 s/t 的 二项分布
泊松过程的另一个定义
[定义] 称计数过程{ X (t) , t 0 }为具有参数 >0 的泊松 过程，若它满足下列条件： (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立、平稳增量过程; (3) X (t) 满足下列两式：
ΦX ( ) E[e
jX (t )
]e
t ( e j 1)
(1) 泊松过程的数字特征
均值函数 方差函数 相关函数 协方差函数
mX (t ) E[ X (t )] t
2 X (t ) DX (t ) t
RX (s, t ) E[ X (s) X (t )] s(t 1) , (s t )
0
t
则X(t)服从参数为 mX (t ) 的poisson分布 [定理] 设{ X (t) , t 0 }为具有跳跃强度函数为 (t ) 的非齐次泊松过程，则有
[mX (t )]n P{ X (t ) n} exp{ mX (t )}, (n 0) n!
P{ X (t s) X (t ) n} [mX (t s) mX (t )]n exp{[m X (t s) mX (t )]}, (n 0) n!
fWk X (t ) (s n)
lim
h0
n! s s 1 k (k 1)!(n k )! t t
h

k 1
n k
Beta分布
P{s Wk s h X (t ) n}
fWk (s) P{ X (t ) X (s) n k} P{ X (t ) n}
的非齐次泊松过程，若它满足下列条件： (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程; (3) P{ X (t h) X (t ) 1} (t )h o(h)
P{ X (t h) X (t ) 2} o(h)
非齐次泊松过程的分布
令
mX (t ) (s) d s


[例] 设在 [ 0 , t ] 内事件A已经发生 n 次，且0 < s < t，对
于0 < k < n ，求在 [ 0 , s ] 内事件A发生 k 次的概率。
P{X (s) k X (t ) n}
P{ X ( s) k , X (t ) n} P{ X (t ) n}
[例3] 设在 [ 0 , t ] 内事件A已经发生 n 次，求第k次(k < n)
事件A发生的时间Wk 的条件概率密度函数。
P{s Wk s h X (t ) n}
P{s Wk s h, X (t ) n} P{ X (t ) n} P{s Wk s h, X (t ) X ( s h) n k} P{ X (t ) n} P{s Wk s h} P{ X (t ) X ( s h) n k} P{ X (t ) n}
到达时间的条件分布
[定理] 设 {X (t), t 0 }是泊松过程，已知在[0, t]内事件A
发生n次，则这n次到达时间W1< W2< …< Wn可看成n 个[0, t]上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量
n! n , 0 t1 t n t f (t1 , , t n X (t ) n) t 其它 0,
P{ X (t h) X (t ) 1} h o(h) P{ X (t h) X (t ) 2} o(h)
6.2 泊松过程的基本性质
Hale Waihona Puke 泊松分布:(t ) n t P{ X (t s) X ( s) n} e , n! n 0, 1,
(t ) n t P{ X (t ) n} e , n 0, 1, 2, n!
6.6 复合泊松过程
[定义] 设{ N (t) , t 0 }是强度为 的泊松过程，{ Yk , k =1, 2, … }是一列独立同分布随机变量，且与{ N (t) , t
0 }独立，令
X (t ) Yk , t 0
k 1
N (t )
则称{ X (t) , t 0 }为复合泊松过程。
泊松过程
[定义] 称计数过程{ X (t) , t 0 }为具有参数 的泊松过程，
若它满足下列条件： (1) X (0) = 0 ; (2) X (t) 是独立增量过程; (3) （平稳性）在任一长度为 t 的区间中，事件A发生的
次数服从参数t 的泊松分布，即对任意 s , t ，有
(t ) n t P{ X (t s) X ( s) n} e , n! n 0, 1,
3 泊松过程
内容提要

泊松过程的定义 泊松过程的基本性质


非齐次泊松过程
复合泊松过程
泊松分布
[泊松分布] 随机变量X 的所有可能取值为0, 1, 2, … ，而
取各个值的概率为
P{ X k}
k e
k!
, k 0, 1, 2, ( 0为常数)
则随机变量X 服从参数为 的泊松分布，简记为 ()。
[例4] 设{X1(t), t 0 }和{X2(t), t 0 }是两个相互独立的泊松
过程，它们在单位时间内平均出现的事件数分别为 1和
2。记Wk(1)为过程X1(t)的第k次事件到达时间， W1(2)为过
程X2(t)的第1次事件到达时间，求 P{Wk(1)<W1(2)}，即第一 个泊松过程的第k次事件发生早于第二个泊松过程的第1 次事件发生 的概率。
C X ( s, t ) RX ( s, t ) mX ( s)mX (t ) min(s, t ) s , ( s t )
(2) 时间间隔与等待时间
设 {X (t), t 0 }是泊松过程，令X (t)表示 (0,t] 时间内
事件A发生的次数， T1 0 W1 T2 T3 W2 W3 Tn Wn-1 Wn
P{ X ( s) k , X (t ) X ( s) n k} P{ X (t ) n}
(s ) k e s [ (t s )]n k e ( t s ) k! (n k )! n! s k (t s) nk n t ( t ) e k!(n k )! tn n!
[例7] 设某路公共汽车从早上 5时到晚上9时有车发出。
乘客流量如下： 5时平均乘客为 200人/时；5时至8时乘 客线性增加，8时达到 1400人/时；8时至18时保持平均 到达率不变； 18 时至 21 时到达率线性下降，到 21 时为 200人/时。假定乘客数在不相重叠的时间间隔内是相互 独立的。求 12 时至 14 时有 2000 人来站乘车的概率，并 求出这两小时内乘客人数的数学期望。