承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我所属学校（请填写完整的全名）：华南师范大学增城学院参赛队员(打印并签名) ：2. 张小华指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期2012 年8 月 3日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2007年高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）中国人口增长预测摘要：本文从中国的实际情况和中国人口增长特点出发，参考相关数据，建立了中国人口增长的数学模型，然后根据一些影响中国人口增长的因素对中国人口增长的中短期和长期趋势做出了分析和预测。

模型Ⅰ：建立了指数增长模型，利用附件2中数据，结合网上查找补充的数据，分别根据从1954年、1965年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测，把预测结果与附件1,《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较，发现，指数增长模型对短期人口预测可以得到很好的结果，但是长期来看，任何地区的人口都不可能无限增长，即指数模型不能描述也不能预测较长时期的人口演变过程，这是因为，人口增长率事实上是在不断地变化地变化着的，排除灾难、战争等特殊时期，一般来说，当人口较少时，增长较快，即增长率较大；人口增加到一定数量后，增长就会慢下来，即增长率变小，所以，为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必须修改指数增长模型关于增长率是常数这一基本假设。

所以，，建立了模型Ⅱ。

模型Ⅱ：在对模型Ⅰ修改的基础上，建立了Logistic人口阻滞增长模型，利用附件2中数据，结合网上查找补充的数据，分别根据从1954年、1965年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测，把预测结果与附件1《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。

得出运用1980年到2005年的总人口数建立模型预测效果好，拟合的曲线的可决系数为0.9987。

运用1980年到2005年总人口数据预测得到2010年、2020年、2030年我国的总人口数分别为13.55357亿、14.18440亿、14.60632亿。

关键词 Logistic人口模型人口增长预测 MATLAB软件问题重述：中国是一个发展中国家，又是世界上人口最多的国家，人口问题一直是制约中国经济和社会发展的首要因素，因此，能否对中国人口增长做出准确分析和预测，对于加速推进中国现代化建设有着极为重要的现实意义。

近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。

现有2001至2005年的市、镇和乡人口不同性别的人在该类人口中所占的百分比，各类年龄段人口的死亡率，以及各类年龄段妇女生育率等数据，参考上述相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出模型中的优点与不足之处。

问题分析：人口的变化受到众多方面因素的影响，因此对人口的预测与控制也就十分复杂，很难在一个模型中综合考虑到各个因素的影响。

为了更好的解决此问题，我们分析了题目以及附录1中所给的相关信息，考虑到可以根据对人口增长不同的评价指标及不同的时期建立多个模型分别加以讨论。

一、从附件1中，我们看到过去一些专家对中国的总人口数做出了2010年、2020年分别达到13.6亿人和14.5亿人，2033年前后达到峰值15亿人左右的预测。

因而，我们也可以先对总人口的增长趋势做出自己的预测与专家预测数据进行比较，对于预测所要用到的一些相关数据，我们作了相应的补充，由此我们建立了模型：指数增长模型和阻滞增长模型。

二、模型一和模型二只考虑了人口总数，对人口总数进行了预测分析。

但实际中在对人口进行分析时，按年龄段分布的人口结构是非常重要的。

在人口总数一定时，不同年龄段的人的生育率和死亡率是不同的，它们对人口未来发展的影响也是很不一样的。

为了讨论不同年龄段的人口分布对人口增长的影响。

问题假设：1、假设社会稳定，不会发生重大自然灾害和战争。

2、假设不考虑移民对人口总数的影响。

符号说明：x：为今年的人口数x：为K年后人口数kr：为年增长率x：自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m2R：可决系数模型的建立与求解：为了对以后一定时期内的人口数做出预测，首先从中国经济统计数据库（http://211.86.245.155/index.aspx）上查到我国从1954年到2005年全国总人口的数据如表1。

模型一：指数增长模型模型的介绍：最简单的人口增长模型是人所共知的：记今年的人口为kx ,0年后人口为k x ，年增长率为r ,则kk r x x )1(0+=（1）显然，这个公式的基本条件是年增长率r 保持不变。

二百多年前英国人口学家马尔萨斯（Malthus,1776—1834）调查了英国一百多年前的人口统计资料，得出了人口增长率不变的假设，并据此建立了著名的人口指数增长模型。

模型一的建立 记时刻t 的人口为)(t x ，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，)(t x 是一个很大的整数，为了利用微积分这一数学工具，将)(t x 视为连续、可微函数。

记初始时刻(t=0)的人口为0x ，假设人口增长率为常数r ，即单位时间内)(t x 的增量等于r 乘以)(t x ，考虑t t t ∆+到时间内人口的增量，显然有 t t rx t x t t x ∆=-∆+)()()(令0→∆t，得到)(t x 满足微分方程0)0(,x x rx d d tx== （2） 由这个方程很容易解出rt e x t x 0)(= （3）0>r 时，（3）式表示人口将按指数规律随时间无限增长，称为指数增长模型模型一的求解参数估计（3）式的参数0x r 和可以用表1的数据估计，为了利用简单的线性最小二乘法，将0>r （3）式取对数，可得0ln ,ln ,x a x y a rt y ==+= （4）以1954年至1980年的数据拟合（4）式，MATLAB 软件计算可得.,0==x r以全部数据（1954年到2005年）拟合（4）式，得.,0==x r结果分析 用上面得到的参数0x r 和代入（3）式，将计算结果与实际数据做比较，表2中计算人口1x 是用1954年到1980年的数据拟合的结果，计算人口2x 是用全部数据（1954年到2005年）拟合的结果，图1，图2是它们的图形表示（+是实际数据，曲线是计算结果），可以看出，用指数增长模型基本上能够描述20世纪以前中国人口的增长，但是进入21世纪后，中国人口增长明显变慢，这个模型就不合适了。

所以，这个模型只能表示出中国人口增长的短期趋势，只能对中国的人口增长短期趋势做出预测，从此模型可以看出中国的人口增长在短期内增长较快。

模型二：阻滞增长模型（LOGISTIC 模型）模型的介绍： 分析人口增长到一定数量后增长率下降的主要原因，人们注意到，自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越来越大，所谓阻滞阻滞模型就是考虑到这个因素，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。

模型二的建立 阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上使得r 随着人口数量x 的增加而下降，若将r 表示为x 的函数)(x r ，则它应为减函数，于是方程（2）写作0)0(,)(x x x x r d d tx== （5） 对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即sx r x r -=)( )0,0(>>s r （6）这里r 为固有增长率，表示人口很少时（理论上是0=x ）的增长率，为了确定系数s 的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，称人口容量，当m x x =时人口不再增长，即增长率0)(=m x r ，代入（6）式得mx r s =，于是（6）式为)1()(mx xr x r -= （7）（7）式的另一种解释是，增长率)(x r 与人口尚未实现部分的比例m m x x x /)(-成正比，比例系数为固有增长率r将（7）代入方程（5）得0)0(),1(x x x xrx d d mt x =-= （8） 方程（8）右端的因子rx 体现人口自身的增长趋势，因子)1(m x x-则体现了资源和环境对人口增长的阻滞作用，显然，x 越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增长是两个因子共同作用的结果。

方程（8）可以用分离变量法求解得到 rtm me x xx t x --+=)1(1)(0（9）模型二的求解参数估计 为了利用简单的线性最小二乘法估计这个模型的参数r 和m x ，将（8）式表示为m txx r s sx r x d d =-=, （10）将1954年看成初始时刻即0=t ，则1955为1=t ，以次类推，以2005年为51=t 作为终时刻。

用函数（5）对表1中的数据进行非线性拟合，运用MATLAB 编程（程序见附录1）得到相关的参数-0.0336,180.9871 ==r x m ，可以算出可决系数（可决系数是判别曲线拟合效果的一个指标）：9959.0)y y()yˆy(1R 51i 2i51i 2i i2=---=∑∑==由可决系数来看拟合的效果比较理想。

所以得到中国各年份人口变化趋势的拟合曲线：te t x 0336.0)12.609871.180(19871.180)(--+=根据曲线（1）我们可以对2010年（56=t ）、2020年（66=t ）、及2030年（76）进行预测得（单位：千万）：5494.156)76(,5400.148)66(,6161.138)56(===x x x模型的检验为了确保模型的准确性，我们令取一个时间段即在我国实行计划生育后为起始时刻，进行预测中国人口的增长趋势。

所以，从1980-2005年，国家计划生育政策逐渐得到完善及贯彻落实，这个时期的人口增长受到国家计划生育政策的控制，人口的增长方式与上述的两个阶段都不同。