练习：设函数f(x) 2x3 3(a 1)x2 6ax 8其中a R (1)若f(x)在x 3处取得极值，求常数 a的值 (2)若f(x)在( ,0)上为增函数，求 a的范围
单调递减
49 24
单调递增
1 49 1 所以, 当 x 时, f (x)有极小值 f ( ) . 12 24 12
练习2
求下列函数的极值:
(1) f ( x) 6 x x 2;
2
(2) f ( x) x 27 x;
3
解: 2 (2) 令f ( x) 3x 27 0, 解得 x1 3, x2 3.列表:
(1) f ( x) 6 x x 2;
2
(2) f ( x) x 27 x;
3
解: 1 (1) f ( x) 12 x 1, 令 f ( x) 0, 解得 x . 列表: 12
x
f ( x)
f (x)
1 (, ) 12
–
1 12 0
1 ( ,) 12 +
求解函数极值的一般步骤：
（1）确定函数的定义域
（2）求方程 f (x) 0 的根
（3）用方程 f (x) 0 的根，顺次将函数的定义域分 成若干个开区间，并列成表格
（4）由 f 在方程 f (x) (x) 0的根左右的符号，来判 断f(x)在这个根处取极值的情况
练习2
求下列函数的极值:
当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表:
x
(–∞, –2)
–2
(–2, 2)
–
2 0
( 2, +∞)
f ( x)
+
0
+
f (x) 单调递增
28 / 3 单调递减
4 / 3 单调递增
所以, 当 x = –2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ; 当 x = 2 时, f (x)有极小值 – 4 / 3 .
1.3.2函数的极值与导数
y
f ( x3 )
f ( x4 )
f ( x1 )
f ( x2 )
O
a
x1
x2
x3
x4
b
x
观察上述图象,试指出该函数的极值点与极值, 并说出哪些是极大值点,哪些是极小值点.
函数极值的定义—— 1)函数y=f(x)在x=a处的函数值f(a) 比它在点x=a附近 其它各点的函数值都小，我们就说f(a)是函数的一个 极小值.点a叫做极小值点． 2)函数y=f(x)在x=b处的函数值f(b) 比它在点x=b附 近其它各点的函数值都大，我们就说f(b)是函数的一 个极大值，点b叫做极大值点．
f(b)
a
b
f(a)
（1）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间 而言的，在函数的整个定义区间内可能有多个极大 值或极小值 （2）极大值不一定比极小值大 （3)极大值点,极小值点统称为极值点. （4)极大值与极小值统称为极值. （5）极大值不一定等于最大值 极小值不一定等于最小值 （6）可导函数f(x), x0是极值点，则 f (x0 ) 0 但 f (x) 0 ，x0不一定是极值点
，
通过验证当a=3，b=-3，不合要求。 所以分条件
例题：已知函数f ( )x x 5 a x3 b x 1 （1 ）求a , b值 （2 ）求f ( x ) 的极 大值，极小值
仅当x 1 , x 1 时取极值，且极大值 比极小值大4
3 2
2
在
x 1
时有极
值10，求a，b的值．
2 f ( x) 3x 2ax b 2 f ( 1 ) 1 a b a 10 由题设条件得： / f (1) 3 2a b 0
解得
a 3 a 4 或 b 3 b 11
x
(–∞, –3) –3 (–3, 3) – 单调递减
3 0
( 3, +∞)
f ( x)
+
0
+
单调递增
f (x) 单调递增
54
54
所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .
例2：函数
解:
f ( x) x ax bx a
例：y=x3
练习1
下图是导函数 y
y f ( x) 的图象, 试找出函数 y f ( x) y f ( x)
x3 x x5
的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.
a x1 O
x2
x4
x6
b
1 3 例1 求函数 f ( x) x 4 x 4的极值. 解: 3 3 1 2 因为 f ( x) x 4 x 4, 所以 f ( x) x 4. 3 令 f ( x) 0, 解得 x 2, 或 x 2. 当 f ( x) 0 , 即 x 2 , 或 x 2 ; 当 f ( x) 0 , 即 2 x 2 .