又 k 180 k 180 45 ，k Z .
2
y
又 k 180 k 180 45 ，k Z .
90°
2
当 k 2n(n Z ) 时 ，
180°
0°
O
360° x
n 360 n 360 45 ，n Z
故
2
是第一象限的角 .
270°
2
当 k 2n 1(n Z ) 时 ，
{ | 450 2k 1800 , k Z } { | 450 (2k+1) 1800 , k Z }
225° 45°
o
x
{ | 450 k 1800 , k Z }.
S { | 450 k 1800 , k Z }.
y
由题意－360°≤ ＜720°，
即 360 45 k 180 720
跟踪训练 1 判断下列角的终边落在第几象限内： (1)1 400°； (2)－2 010°.
解 (1)1 400°＝3×360°＋320°，∵320°是第四象限角， ∴1 400°也是第四象限角．
(2)－2 010°＝－6×360°＋150°，∴－2 010°与 150°终边相 同．∴－2 010°是第二象限角．
（3）终边在坐标轴上的角的集合:
{ | k 90 ，k Z }.
1.1.1
例 1 在 0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角， 并判定它们是第几象限角． (1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在 0°～360°范围 内，与－150°角终边相同的角是 210°角，它是第三象限角． (2)因为 650°＝360°＋290°，所以在 0°～360°范围内，与 650° 角终边相同的角是 290°角，它是第四象限角． (3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在 0°～ 360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是 129°45′角， 它是第二象限角． 小结 解答本题可先利用终边相同的角的关系：β＝α＋ k·360°，k∈Z，把所给的角化归到 0°～360°范围内，然后利 用 0°～360°范围内的角分析该角是第几象限角．
1.1.1 任意角
复习回顾：
什么是角？ 角的分类？ 初中阶段对三角函数有哪些认识？
角的概念的推广
规定：按逆时针方向旋转形成的角叫正角，
按顺时针方向旋转形成的角叫负角.
B
记为：角α或∠α
α
简记为：α
O 始边 A
顶点
如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角， 即α=0°（零角的始边与终边重合）. 推广后的角包括：正角、负角和零角.
例2．写出终边在直线 y=x 上的角的集合S，并把
S中适合不等式－360°≤ ＜720°的元素写出来．
解：如图，在直角坐标系中作出直线 y=x ，
可以发现它与x轴的夹角为 45°，在0°~ 360°范围内，
终边在直线上的角有两个：45°，225°.
所以终边在直线 y=x 上的角的集合
y
S { | 450 k 3600 , k Z } { | 2250 k 3600 , k Z }
O
360° x
3
当 k 3n 1(n Z ) 时 ，
270°
n 360 120 n 360 150 ，k Z ，
故
3 是第二象限的角 .
3
当 k 3n 2(n Z ) 时 ，
n 360 240 n 360 270 ，k Z ，
故
3 是第三象限的角 .
综上3 可知： 是第一或第二或第三象限的角 .
直角坐标系内研究角
角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负 半轴重合，则角的终边（除端点外）在第几象限， 就说这个角是第几象限角.
说明：终边落在坐标轴上的角，不属于任何象限， 称为象间角.
390 30 360 330 30 360
30 k 360 ，k Z .
定义 : 所有与角 终边相同的角，连同角 在内，
n 360 180 n 360 225 ，n Z
故
2
是第三象限的角 .
2
综上可知： 是第一或第三象限的角 .
2
又
k
120
3
k
120
30 ，k
Z
.
y
90°
当 k 3n(n Z ) 时 ，
n 360 n 360 30 ，k Z ， 180°
0°
故
3 是第一象限的角 .
思考： （1）若角α的终边与角 -690°的终边关于x轴对称， 则α=_______________. （2）若角α的终边与角 -690°的终边关于y轴对称， 则α=_______________. （3）若角α的终边与角 -690°的终边关于原点对称， 则α=_______________.
例例32..已知角 是第一象限的角，
试问 2 、 、 各是第几象限的角？
23
180°
解：由角 是第一象限的角 可知：
y
90°
0°
O
360° x
k 360 k 360 90 ，k Z
270°
2k 360 2 2k 360 180 ，k Z .
2 是第一或第二象限角
或终边落在 y 轴非负半轴上的角 . Nhomakorabea3
如图
几何法
如图
小 结： 一般地，已知α是第几象限的角，要确定 (n N * )
n
所在象限的常用方法有两种：
（1）分类讨论；
（2）几何法，即先把各象限均分n等份，再从x轴正向 的上方起，按逆时针方向依次将各区域标上1、2、3、4，
则α原来是第几象限，对应的标号即为 终边所落在的
n
区域 .
得
9 4
k
15 4
(k Z)
k 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , 3.
225° 45°
o
x
故S中适合不等式－360°≤ ＜720°的元素是：
45 2180 315, 45 1180 225, 45 1180 135, 45 2180 405, 45 0180 45, 45 3180 585.
可构成一个集合：S { | k 360 ，k Z }. 即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角
与整数个周角的和。
注意：终边落在坐标轴上的角，不属于任何象限，
称为轴线角.
y
（1）终边在x轴上的角的集合：
{ | n 180 ，n Z }.
（2）终边在y轴上的角的集合:
O
x
{ | 90 n 180 ，n Z }.