5 5 ， 极小值-1， 当 a 或 a 1 时 27 27
函数 g ( x ) x 3 x 2 x 与函数 y a 只有一个交点， 所以当 a ( ，
5 ) (1， ) 时，曲线 y f ( x ) 与 x 轴仅有一个交点。 27
本课小结
3
几何画板
f ( x) ax bx cx d (a 0)
3 2
2 f ( x) 3ax 2bx c
4b -12ac 4(b -3ac)
2 2
a 0, 0
y y
x1 O
x2
x2 x x1
f ( x) ax bx cx d (a 0)
1 )上 3
5 ) (1， ) 时，曲线 y f ( x ) 与 x 轴仅有一个交点。 27
方法二： 将 f ( x ) 与 x 轴交点问题转化为函数 g ( x ) x 3 x 2 x 与函数 y a 的 交点个数问题
y=-a
y
5 27
x
-1
易求函数 g ( x ) x 3 x 2 x 的极大值
方法一: 转化为a>0利用图像 方法二: 利用图象
例 3 设 a 为实数，函数 f ( x ) x 3 x 2 x a 。 （Ⅰ）求 f ( x ) 的极值； （Ⅱ）当 a 在什么范围内取值时，曲线 y f ( x )与x 轴仅有一个交点。
解法分析：
1 5 对于问题（Ⅰ）易得 f(x)的极大值是 f ( ) a ，极小值是 f (1) a 1 3 27
三次函数图像与性质
复习:二次函数的图象与性质
函数 二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数a≠0） a>0
y y x y o o y x y o o x x x o
a<0
x
0
y
o
图 象
0 0
讲授新课
1.类比二次函数，三次函数一般式是怎样？
形如y ax3 bx 2 cx d (a 0)
f ( x) 3ax 2bx c
' 2
4b -12ac 4(b -3ac)
2 2
a>0 Δ>0 Δ≤0 Δ>0
a<0 Δ≤0
x x1 x2
x x1 x2
x
x
3+bx2+cx+d的 已知三次函数 f(x) ＝ ax 思考 导函数/(x)的图象如右图所示,则y =f (x)
的图象最有可能的是
1、利用导数研究三次函数的图象和性质
2、利用图象与性质解决什么问题？ (1)单调性、极值、最值问题； (2)讨论三次方程根的问题； 3、思想方法： 数形结合,函数与方程， 分类讨论,转化思想
作业：
• 1、思考：三次函数的图象有没有对称性？ • 2、作业：课本P110 第7题 第10题
三 次 函 数 的 图 象 与 性 质
3 2
2 f ( x) 3ax 2bx c
4b -12ac 4(b -3ac)
2 2
a 0, 0
y y
O
x
f ( x) ax bx cx d (a 0)
3 2
2 f ( x) 3ax 2bx c
4b -12ac 4(b -3ac)
1个交点
f x1 f x2 0
y
y
x1 O f ( x1 )
x2
x
f ( x1 )
y
f ( x2 )
f ( x2 )
f ( x1 ) x1
O
x1 O
x2
x
x2
x
f ( x2 )
y
y
x1
O
x2
x
x1 O
x2
x
若方程ax3 bx2 cx d 0,
a 0呢？
如 -x3+6x2-9x+10=0
R 的函数叫做三次函数 定义域和值域都为
2.我们如何研究三次函数的图象和性质？
f ( x) 3ax 2bx c
2
探究一：三次函数的单调性
例 1 试确定函数 f ( x ) x 3 3x 的单调区间，并在同一坐标系中画出此函数与它的 导函数图象。
f ( x) x 3 x
此曲线 y f ( x ) 与 x 轴仅有一个交点，它在 (1， ) 上； 当 f(x)的极小值 a 1 0 ，即 a (1， ) 时，它的极大值也大于 0，因此曲 线 y f ( x ) 与 x 轴仅有一个交点，它在 ( ， 所以当 a ( ，
y
C
y y y
2
O
y
1
2
x
O x
1 2 x
O
1
2
x
O
1
2
x
O 1
A
B
C
D
探究二 三次方程实根的问题
讨论方程ax3 bx2 cx d 0(a 0) 的实根的个数
a 0时
x x x x x x x x
有且只有 1个交点
x1
x2
2个公共点 f x1 f x2 0 3个交点 f x1 f x2 0
x1
x2
Байду номын сангаас
解法分析： 对于问题（Ⅰ）易得 f(x)的极大值是 f ( )
1 3
5 a ，极小值是 f (1) a 1 27
对于问题（Ⅱ）主要方法结合三次函数图象解决 方法一： 结合 f(x)的单调性可知： 当 f(x)的极大值
5 5 a 0 ，即 a ( ， ) 时，它的极小值也小于 0，因 27 27
2 2
a 0, 0
y y
x1 O
x2
x1 x
x2
f ( x) ax bx cx d (a 0)
3 2
2 f ( x) 3ax 2bx c
4b -12ac 4(b -3ac)
2 2
a 0, 0
y x y
O
三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象