1. 基本方程
S D dS q
•D
E • dl 0
l E 0
D E
积分形式 微分形式 本构方程
2. 边界条件
v D
的法向分量边界条件
(the normal component)
D2n D1n s
s若为边分界界面面上上不自存由在电自荷由面电密荷度，，则不Dv包法括向极连化续电。荷。
1
1
n
S
1 常数
例
半径为a的带电导体球，已知球体电位为U （无穷远处电位为0），计算球内外空间的 电位函数和电场强度。
解：球外空间的电位满足拉普拉斯方程， 边 界 条 件 是 r=a ， φ=U ； r→∞ ， φ=0 。 电 位 及其电场均具有对称性，建立球坐标系
解：导体球是等势体。
2
P
Q
如果Q点是电位参考点，则 P E • dl
P
电位是相对值。
通常只要全部电荷都处在有限空间区域内， 选取无限远作为参考点，可带来很大的方 便。
点电荷在真空中产生的电位
r
q
4 0R2
eR
• dl
r
qdR
4 0R2
q
4 0
1 r
•电位的计算也满足叠加原理
•以无穷远为参考点时， n个点电荷产生的电位：
第三章 静态电磁场 及其边值问题的解
李婷
主要内容
静电场分析 恒定电场分析 恒定磁场分析 惟一性定理 镜像法
3.1 静电场分析
静电场分析的基本变量
一个源变量
两个场变量
电场强度
E
q
4 R 2
eR
电通密度（或电位移矢量） D
q
4R2
eR
D E
3.1.1 静电场的基本方程和边界条件
dx 2 方程的解为
d121dx22(nx1)202
2
n
S
1(x) 2 (x)
O
ba
x
1(x) C1x D1 2 (x) C2 x D2
利用边界条件
x 0 1(0) 0
x a 2(a) 0
x b 1(b) 2 (b)
xb
0
1(x)
x
0
2 (x)
x
S0
D1 0 C2a D2 0
常用传输线，如平行板线、平行双导线、同轴电 缆都是双导体系统
通常，它们的纵向尺寸远大于横向尺寸
因而，可作为平行平面电场（二维场）来研究， 只需计算传输线单位长度的电容。
计算步骤如下：
根据导体的几何形状，选取适当的坐标系
假定两导体上分别带电荷+q和-q
根据假定的电荷求出E
由
2
1
E
dl
We
1 2
(rv) (rv)dV
V
关于空间总电场能量的说明：
此公式只适用于静电场能量求解；
公式中 1 不表示电场能量密度；
(rv)
2
为空间中自由电荷分布；
积分范围 V为整个空间，但可退化到电荷分布区域。
带电导体系统总能量
若电量为q的电荷分布在导体上，导体电位为 ，则空间中总静
电场能量为：
We
1 2
We
1 QU 2
We
1 CU 2 2
3.2 导电媒质中的恒定电场分析
恒定电场：恒定电流(运动电荷)产生的电场。
一、恒定电场的基本方程
恒定电场的基本量：Ev
v J
电流连续性方程：gJv
0
v
0 t gJ 0
t
恒定电场仍然是保守场，因此
v E
0
小结：恒定电场基本方程为
v
gJ
v
0
J
S
dS
0
E 0
evr
v E
P'
Q
P
l 2 0
(ln
rQ
ln
rP )
电位参考点不能位于无穷远点，否则表
达式无意义。
P
根据表达式最简单原则，选取r =1柱面
为电位参考面，即 rQ 1 得：
P
l 2 0
ln
rP
无限长线电流在空间中产生的电位
2. 电位的微分方程
高斯定理的微分形式
E
电位与电场强度的关系
E
ex
d1(x)
dx
ex
d 2 0
E2 (x) 2 (x)
ex
d2 (x)
dx
ex
d 0
x
E3(x) 3(x)
ex
d3 ( x)
dx
d ex 2 0
I
1 ( x)
y
II
2 ( x)
III
3 ( x)
-d/2 O
d/2 x
3.1.3 电容（capacity）
由物理学得知，平板电容器正极板上携带的
x
1(x) C1x D1
D2 0
C2 0
I
1 ( x)
y
II
2 ( x)
III
3 ( x)
2 ( x)
2 0
x2
C2x
D2
3 (x) C3x D3
-d/2 O
d/2 x
所以
1(x)
d 2 0
x
d 2 8 0
2 ( x)
2 0
x23 ( x)源自d 2 0xd 2 8 0
电场强度为
E1(x) 1(x)
evr
aU r2
例 x位=2和b：处电两有场块0一。无面限电大荷2接密地度导为x2体ρ2S平0的板均y2分2匀别电置荷z2于2分x布=00。和求x=两a处导，体y 在平两板板之之间间的的电
解：在两块无限大接地导体平板之间，除x=b处有均
匀电荷分布外，其余空间无电荷分布，所以电位满足
拉普拉斯方程
d21(x) 0
r
1a r2
时r：( r2EvrU)r
2
1
0sin
( sin
)
r2
1
sin 2
2 2
r a时：
2 0 ra U r 0
1
r
2
d dr
(r 2
ra U
r 0
d
dr
)
0
c1 r U
ra
0
r
c2
aU r
v
E
(evr
r
ev r
ev
r sin
)( aU ) r
（包括大地）有关，即有
式中：Cii 导体与地之间电容，称导体自电容 Cij 导体之间的电容，称导体互电容
说明：Cij C ji
C12
1
C11
2
C23
3
C13 C22
C33
3.1.4 电场能量
1. 空间总电场能量
分布电荷总能量
空间电荷分布为 (rv)，在空间中产生电位为 (rv)。
空间中总电场能量为：
对于多导体之间的电容计算，需要引入部分电 容概念。多导体系统中，每个导体的电位不仅与 导体本身电荷有关，同时还与其他导体上的电荷 有关，因为周围导体上电荷的存在必然影响周围 空间静电场的分布，而多导体的电场是由它们共 同产生的。所谓部分电容，是指多导体系统中， 一个导体在其余导体的影响下，与另一个导体构 成的电容。
evn
Etevt Enevn
Et
En
t
n
电位边界条件
D2n
D1n
s 2E2n
1E1n
s 2
2
n
1
1
n
S
E1t
E2t
0
1
t
2
t
0
1 2
0
n)由21
电位的边界条件
2
2
n
1
1
n
S
1 2
如果分界面上没有自由面电荷，则
2
2
n
1
1
n
0
1 2
如果第二种媒质为导体，则
电量 q 与极板间的电位差 U 的比值是一个常数，
此常数称为平板电容器的电容，即电容为
C q U
电容的单位F（法拉）太大。例如半径大如地
球的弧立导体的电容只有0.708 103 F。实际中，
通常取 F （微法）及 pF （皮法）作为电容单
位。
1μF 10 6 F, 1 pF 10 12 F
1. 双导体的电容计算
1 n qi
4 0 i1 Ri
体电荷，面电荷和线电荷分布形成的电位：
1
4 0
d
R
1
4 0
dS
S
R
1
l dl
4 0 l R
1. 电场强度与电位的关系
在球坐标系中
r
er
1 r
e
1
r sin
e
q 4 0r
r
q
4 0r
er
q
4 0r 2
er
E
E
电位与电场强度的关系
介质介电常数为 ，如图所示。已知内外导体间电压为U。
求：导体间单位长度内的电场能量。
解：设同轴线内导体单位长度带电量为
v
l
由边界条件知在边界两边E 连续。
S
D dS q 1rl E (2 1)rl0E Q
v E
[1
l (2 1)0
]r
evr
U b Evgdrv
l
ln b
a
[1 (2 1)0 ] a
E
l
dl
0
恒定电场中的基本方程
E
l