1
2
系统灵敏度 反馈系统的内部稳定性 鲁棒稳定性 鲁棒性能
2
3 4
控制与仿真中心
知识回顾
灵敏度（Sensitivity）是反馈控制系统的一个
灵敏度定义
重要性能指标。系统灵敏度定义为：系统传递函数 的变化率与对象传递函数的变化率之比。
∆T ( s ) T ( s ) S= ∆P ( s ) P ( s )
控制与仿真中心
3.2 反馈系统的内部稳定性
问题：系统内部的零极点对消？
在实际系统中，镇定不稳定对象的唯一方法就是 把不稳定的极点移动，直至成为稳定极点，这只 能通过反馈控制实现。
为此，有必要关注控制系统内部的 全部信息！
控制与仿真中心
3.2 反馈系统的内部稳定性
D(s)
E (s)
—
R(s)
C (s)
无扰无噪
无扰有噪
有扰有噪
控制与仿真中心
3.2 反馈系统的内部稳定性
问题：系统内部的零极点对消？
在实际系统中，由于存在模型误差，不可能精确 地消去对象的不稳定零点或极点，需要指出的是， 即使在理想情况下，能实现精确的零极点对消， 我们得到的也是一个内部不稳定的系统。从状态 空间描述看来，系统内部含有一个不稳定的隐模 态，它对应于一个不可镇定或不可检测的状态。
控制与仿真中心
Control and Simulation Center
鲁棒控制
第三章：SISO系统的鲁棒性分析 ——Part 2
课程类别：本科生选修课 授课教师：马 杰 、贺风华
哈尔滨工业大学控制与仿真中心 Control and Simulation Center, HIT
控制与仿真中心
目 录
控制与仿真中心
3.2 反馈系统的内部稳定性
D(s)
R(s)
—
C (s)
+
P0 ( s )
Y (s)
+ N s ( )
（2）由 n 到 y 闭环控制系统的传递函数
s+2 = − Tyn ( s ) = s+3 1 + P0 ( s ) C ( s ) − P0 ( s ) C ( s )
控制与仿真中心
3.1 SISO反馈系统的灵敏度
C (s)
灵敏度和补灵敏度函数小结 R ( s )
—
P (s)
Y (s)
① 灵敏度函数和补灵敏度函数都是传递函数，表征 了控制系统的频率特性： ② 在全频率范围内，S
+T = 1
③ 利用加权灵敏度函数可以实现控制系统设计 ④ 补灵敏度函数在数值上等于从R到Y的传递函数
控制与仿真中心
3.2 反馈系统的内部稳定性
Y (s)
反馈系统的内部稳定性
R(s)
—
C (s)
P0 ( s )
（1）由 r 到 y 闭环控制系统的传递函数
1 s −1 P s = C (s) = 例如： 0 ( ) s − 1 s+2 P0 ( s ) C ( s ) 1 = Tyr ( s ) = = 1 + P0 ( s ) C ( s ) s + 3
取微小增量的极限形式，则：
dT ( s ) T ( s ) d ln T ( s ) = S = dP ( s ) P ( s ) d ln P ( s )
控制与仿真中心
知识回顾
灵敏度定义
四种情况 可变参数 灵敏度
T SP =1
开环系统
被控对象
单位反馈闭环系统
非单位反馈闭环系统
非单位反馈闭环系统
控制与仿真中心
3.1 SISO反馈系统的灵敏度
灵敏度函数S是闭环性能的非常好的指标。
加权灵敏度 关于灵敏度函数的典型指标包括：
① 最小带宽频率 ωB： ② 在关注频率范围内的最大跟踪误差 ③ 系统类型，或者最大稳态跟踪误差A ④ S在关注频率范围内的形状 ⑤ S的最大峰值
Ws S < 1
S ( jω ) ≤ M
3.2 反馈系统的内部稳定性
D(s)
R(s)
—
C (s)
+
P0 ( s )
Y (s)
+ N s ( )
（3）由 d 到 y 闭环控制系统的传递函数
P0 ( s ) = Tyd ( s ) = 1 + P0 ( s ) C ( s ) s+2 ( s + 3)( s − 1)
控制与仿真中心
3.2 反馈系统的内部稳定性
+
V (s)
U (s)
P0 ( s )
Y (s)
+ N s ( )
关注的输出信号：y, e, v, u 关注的输入信号： r, d, n
控制与仿真中心
3.2 反馈系统的内部稳定性
D(s)
E (s)
—
R(s)
C (s)
+
V (s)
U (s)
P0 ( s )
Y (s)
+ N s ( )
r, d, n → y, e, v, u 共12个传递函数：
1 被控对象 S = 1 + PC 1 T , G PC = SP = 被控对象 1 + GH −GH T = SH = , G PC 反馈环节 1 + GH
T P
控制与仿真中心
知识回顾
灵敏度函数特性
（1）灵敏度函数表征了闭环系统关于被控对象变化的鲁棒性。 （2）Nyquist曲线中，开环传递函数PC距离-1点的最
C T3 = 1 + P0C 1 T4 = 1 + P0C
控制与仿真中心
3.2 反馈系统的内部稳定性
内部稳定的Nyquist判据： 对于SISO反馈控制系统，闭环控制系统内部稳 定的充要条件是P0(s)C(s) 在的奈奎斯特轨迹不包围 (-1, j 0)点，并且逆时针绕(-1, j 0)点的次数等于P(s) 和C(s) 在Re s≥0 上极点总数。
3.1 SISO反馈系统的灵敏度
补灵敏度函数
S +T = 1
S——灵敏度函数； T——补灵敏度函数。
T = 1− S
控制与仿真中心
3.1 SISO反馈系统的灵敏度
R(s)
—
补灵敏度函数
C (s)
P (s)
Y (s)
1 S= 1 + PC
S +T = 1
PC T= 1 + PC
控制与仿真中心
C (s)
V (s)
U (s)
P
定理：对于SISO反馈控制系统，闭环控制系统内部 稳定的充要条件是： （1）1+P0C 在Re s≥0 上没有零点； （2）乘积P0C 在Re s≥0 上没有零极点对消。
P0C T1 = 1 + P0C P0 T2 = 1 + P0C
1 1 S max = = 小距离与灵敏度函数的最大值互为倒数。 max 1 + PC ρ
（3）灵敏度函数与相位裕度的关系 （4）灵敏度函数与传递函数的关系
S max ≥
1 2 sin
γ
2
d到y ——反映系统对输出端扰动d的抑制特性 r到e ——反映系统对输入信号的跟踪性能
R(s)
—
D(s)
E (s)
P0C Tyr = 1 + P0C P0 Tyd = 1 + P0C
Tyn = −Ter
1 Ter = 1 + P0C C Tvr = 1 + P0C
Tur = Tvr Tud = −Ter Tun = −Tvr
Ted = −Tyd
Ten = −Ter
Tvd = −Tyr
Tvn = −Tvr
控制与仿真中心
C (s)
P 0 (s)
+
Y (s)
控制与仿真中心
知识回顾
思考问题（提问并讨论） 空调机的温度传感器精度为1°，可否通过 改进空调机的控制器，实现室温控制误差减小 到0.5 °？试说明原因。
控制与仿真中心
知识回顾
判断正误（提问并讨论） 1927年Black在贝尔实验室利用高增益抑制真空管 特性变化对放大器精度的影响，增益提高， Nyquist 曲线中，开环传递函数PC更靠近-1点，灵敏度恶化。
P0C T1 = 1 + P0C P0 T2 = 1 + P0C
C T3 = 1 + P0C 1 T4 = 1 + P0C
控制与仿真中心
3.1 SISO反馈系统的灵敏度
权函数的选择 一种典型的权函数
S M + ωB Ws ( s ) = s + ωB A
S M ( W (s) = (s +ω
s 1n
+ ωB ) A
1n n
n
B
)
ωB ——最小带宽频率；
M——高频段灵敏度峰值指标； A——低频段灵敏度的上界。
控制与仿真中心
3.2 反馈系统的内部稳定性
个传递函数都是稳定的，则闭环反馈控制系 统是内部稳定的。
定义：单回路反馈控制系统（如下图），T1~ T4四
P0C T1 = 1 + P0C
R(s)
—
P0 T2 = 1 + P0C
D(s)
E (s)
C T3 = 1 + P0C
+
1 T4 = 1 + P0C
Y (s) + N (s)