选择
0.21s ˆ W2 ( s ) = 0.1s + 1
ω
例3：模型嵌入方法
设实际对象传递函数 P ( s ) = 现将它嵌入乘积摄动模型。 令标称对象 选择
k ˆ P (s) = 0 s−2
ˆ W2 ( jω )
k s−2
，其中 k ∈ [0.1,10]
ˆ P ( jω ) − P ( jω ) ˆ ≤ W2 ( jω ) ，满足 ˆ P ( jω )
(1) ( 2)
Δ Δ
∞ ∞
≤ 1 γ 当且仅当 M ( s ) < 1 γ 当且仅当 M ( s )
∞ ∞
<γ ≤γ
鲁棒稳定性检验小结
摄动 条件
(
ˆ ˆ 1 + ΔW2 P
)
ˆ ˆ W2T
ˆ ˆˆ W2CS
∞
<1
<1
ˆ ˆ P + ΔW2
ˆ ˆ ˆ P 1 + ΔW2 P
∞
(
)
ˆ ˆˆ W2 PS
鲁棒控制理论
第四章 不确定性和鲁棒性
前言
没有任何一个物理系统是可以用准确的数学模型来代表 的。由于这一原因，我们必须知道建模误差对控制系统 的性能可能会产生怎样的不利影响。 本章开始论述各种不确定对象的模型，进而用小增益定 理研究鲁棒稳定性，即在对象存在不确定性的情况下的 稳定性问题。最后一个专题是鲁棒性能问题，在对象不 确定的情形下确保跟踪目标的实现。
(
( ) ( )
2
) ( ) ( )
∞
( )
ΔW2T
∞
≤ W2T
<1
ˆ 1 + ΔW2T ( jω ) 位于以1为圆心，半径小于1
的闭圆内，相位角变化 <360° 0
L ( jω ) 围绕(-1,j0)的圈数 ˆ = L ( jω ) 围绕(-1,j0)的圈数
1
Re
则摄动系统内稳定
必要性：用反证法
ˆ 变形为 P = ⎡⎢⎣1 + Δ ( s )W2 ( s )⎤⎥⎦ P 构造乘积摄动模型
ˆ P = { P ( s ) = ⎢⎣⎡1 + Δ ( s )W2 ( s )⎥⎦⎤ P ( s ) Δ ∞ ≤ 1}
P ( s ) 具有相同的不稳定极 点），此时称 Δ ( s ) 是可容 许的（allowable)。 Δ ( s ) 为尺度因子。
P
三 大 要 素
,闭环系统性能满足J，则称C对于P在J的意义下是鲁棒控制
器，或闭环系统在J的意义下具有鲁棒性 定义：鲁棒稳定性（乘积摄动）
ˆ 设P = P = (1 + ΔW2 ) P Δ
制器C对于P中的每一个对象 棒稳定的。
{
∞
≤1
}
为系统的不确定性模型，则当控
P 保持闭环系统内稳定时，则称系统是鲁
Δ
则称 β sup 为乘积摄动模型下的稳定裕度。
定理1可用于寻找乘积摄动模型下的稳定裕度
ˆ 由 P = (1 + ΔW2 ) P Δ ∞ ≤ β = P = (1 + Δ 'W2' ) P Δ ' ∞ ≤ 1
{
} {
}
∞
其中 Δ =
'
1
β ˆ ˆ 则由定理1， 摄动系统℘( β )的内稳定 ⇔ W2'T ˆT < 1 即 W2 ˆ ∞ β
描述“未建模动态”造成的不确定性 乘积摄动模型 ˆ 设标称对象的传递函数为 P ( s )，实际对象的传递函数为 P ( s )
Δ P ˆ 当 P = 1 + ε ( s )=1 + Δ ( s )W2 ( s ) ˆ
P ˆ −1 = Δ ( s )W2 ( s ) ，或 P ˆ
ˆ 通常假定 Δ ( s ) 和 W2 ( s) 是稳 定的传递函数，而且 Δ ( s ) ˆ 的摄动不构成 P ( s ) 中不 ˆ 稳定极点的消除（P ( s ) 和
定理1的证明
充分性 ˆ ˆ 已知 W2T
∞
<1
Δ
，摄动系统的开环传递函数
ˆ L = PC = (1 + ΔW2 ) PC = (1 + ΔW2 ) L
根据Nyquist稳定性判据，由于标称系统内稳定
ˆ (1) L( jω ) 不通过 (− 1, j 0) 点，而 Δ 可容许的
~ ⇒ L ( jω )也不通过(− 1, j 0 )点
例1：乘积摄动模型建模实例
根据试验，获得稳定对象的频率响应特性 其中i为频率点的编号，k为试验次数的编号
ˆ 选取标称对象传递函数 P ( s )，获得频率响应特性
u P
M
{ω ,(M
i
ik
, φik )
n
k =1 i =1
}
m
{ωi , ( M i , φi )}i=1
m
y
P ( jω )
ˆ P ( jω )
∞
<1
ˆ ˆ P 1 + ΔW2
(
)
ˆ ˆ W2 S
∞
<1
4.3 鲁棒性能（鲁棒跟踪性）
假定对象传递函数属于集合 ℘ 。鲁棒性能的一般含义 是指集合中的所有元素都满足内稳定和一种特定的性能。 定义：鲁棒跟踪性 设对象不确定性满足乘积摄动模型，即
ˆ ℘ = P = (1 + ΔW2 ) P Δ ∞ ≤ 1 对于给定的参考输入信号，当鲁棒稳定的控制器 ˆ 对于 ，有 ，称系统是鲁棒跟踪 C ˆ ∀P ∈℘ W1S < 1 的，其中 为摄动系统的敏感函数。 ∞
4.1 对象的不确定性模型
建模基本方法：集合模型（模型族） 用一个集合P来代表对象的模型。这个集合可以是结构 化的或者是非结构化的。 结构化不确定性模型(Structured Uncertainty) 描述不确定性的来源和位置明确的情况。 参数化不确定性：以有限个参数的不确定性来表示集 合模型。 ⎧ ⎫ 1 ⎪ ⎪ a ∈ [ amin , amax ]⎬ P =⎨ 2
s
现将上述不确定性模型嵌入乘积摄动模型。 由 P ( jω ) ˆ −1 = e−τ jω −1 ≤ W2 ( jω ) , ˆ P ( jω )
− jωτ ˆ 画出 e −1 和 W2 ( jω )
∀ω ,
∀τ ∈ [0, 0.1]
ˆ W2 ( j ω )
τ = 0.1
e
− jωτ
⎧0, τω = 2k π ⎪ ⎪ −1 = 2 (1− cos τω ) = ⎨ ⎪2, τω = (2k + 1) π ⎪ ⎩
-1
最后一个不等式表明，在每一个频率
ˆ 下，临界点-1都位于以 L ( jω ) 为圆
ˆ W2 ( j ˆ 心，以ω ) L ( jω )
L
ˆ ˆ W2 L
为半径的圆外，
如图
小增益定理
Δ
M
设M ∈ RH ∞，且令γ > 0，则对所有的Δ ( s ) ∈ RH ∞ , 如图所示的互连系统是适定而且是内稳定的，且
ˆ W2T 设
*
∞
= k ≥1
W2 ( jω * ) T ( jω * ) = k 处，有
假定 ω = 0
1 则若取 Δ = − k
（满足
Δ
∞
≤ 1 ），则在 ω *处，有
1 1 + ΔW2 ( jω ) T ( jω ) = 1 − ik = 0 k
由于 F = 1 + ΔW2T F
ˆ 即 L ( jω )
Nyquist图
r
−
e
y
ˆ C
开环传递函数 闭环传递函数
ˆˆ L = PC
ˆ P
r→ y
ˆ ˆ= L T ˆ 1+ L
ˆ 闭环特征方程 F = 1 + L = 0
Im
s = σ + jω
jω
⎡ F ( s )⎤ ˆ ⎢⎣ ⎥⎦
极点
[s]
×
ˆ F ( s )的零点
(-1,j0)
0
Re 零点
σ
鲁棒稳定性判据
其他不确定性模型
一些常用的不确定性模型
ˆ (1+ ΔW ) P
2
ˆ P + ΔW2 ˆ P (1 + ΔW2 P ) ˆ P (1 + ΔW2 )
ˆ 在用每一种模型时都要对 Δ 和W2 作适 当的假设。
4.2 鲁棒稳定性(Robust Stability)
定义：鲁棒性 给定不确定性系统的模型（模型族） 给定控制器 C 给定系统的性能指标 J 若 ∀P ∈ P
∞
<1
定理2的证明
充分性
ˆ ˆ ˆ ˆ 设 W1S + W2T
∞
< 1， 该式等价于
(
)
* * ，则在 ω 处，F ( jω ) = 0
通过(-1,j0)点
则摄动系统不稳定。证毕。
说明
设系统不确定性满足以下模型
ˆ ℘ (β ) = P = (1 + ΔW2 ) P Δ
{
∞
≤β
}
ˆ ˆ ˆ 给定控制器 C ，设 C 使标称对象 P 内稳定，则
若
β sup = sup β
ˆ ˆ ∀P ∈℘( β sup ) , C使得P内稳定
r y
ˆ C
考察如图的不确定性系统
−
P
定理1：设对象不确定性满足乘积摄动模型，即
ˆ ℘ = P = (1 + ΔW2 ) P Δ
{
∞
≤1
}
ˆ ˆ 设控制器 C 使标称对象 P 内稳定 ˆ ˆ 则控制器 C 使 P 内稳定⇔ W T < 1