(
ˆ P ˆ 1 + ∆W 2
)
ˆT ˆ W 2
ˆˆ ˆ CS W 2
∞
<1
<1
ˆ + ∆W ˆ P 2
ˆ 1 + ∆W ˆP ˆ P 2
∞
(
)
ˆ PS ˆˆ W 2
∞
<1
ˆ 1 + ∆W ˆ P 2
(
)
ˆ ˆS W 2
∞
<1
4.3 鲁棒性能（鲁棒跟踪性）

假定对象传递函数属于集合 ℘ 。鲁棒性能的一般含义 是指集合中的所有元素都满足内稳定和一种特定的性 能。
ˆ ( jω ) 不通过 (− 1, j 0) 点，而 ∆ 可容许的 (1) L ~ ⇒ L ( jω )也不通过(− 1, j 0 )点
(2)
ˆT ˆ ∆W 2
∞
ˆ ( jω )T ˆ ( jω ) = sup ∆( jω )W 2
ω
ˆ ( jω )T ˆ ( jω ) = W ˆT ˆ ≤ sup ( jω )W 2 2
其他不确定性模型

一些常用的不确定性模型
ˆ (1 + ∆W2 ) P ˆ + ∆W P 2 ˆ) P (1 + ∆W2 P ˆ (1 + ∆W ) P 2

ˆ 作适当 在用每一种模型时都要对 ∆ 和 W 2 的假设。
4.2 鲁棒稳定性(Robust Stability)

定义：鲁棒性
例1：乘积摄动模型建模实例

根据试验，获得稳定对象的频率响应特性
{ω ,(M
i
ik
, φik )
n
其中i为频率点的编号，k为试验次数的编号
k =1 i =1
}
n
m
ˆ (s) 选取标称对象传递函数 P ，获得频率响应特性 ωi , ( M i , φi
k
{
k
)
k =1 i =1
}
m
u
ωi
P
y
M
( jω ) P
(
)
(
)(
)

则鲁棒跟踪性的条件归结为

ˆT ˆ W 2
分析

ˆ= 其中 T
ˆT ˆ <1 ˆ 为鲁棒稳定控制器的条件为 W C 2 ∞
ˆˆ PC 为标称系统的补敏感函数 ˆ ˆ 1 + PC

ˆ 为鲁棒跟踪控制器的条件为 对于摄动系统， C
其中
ˆS W 1
∞
<1
ˆ S 1 1 1 1 S= = = = = ˆ ˆT ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 1 + L 1 + ∆W 1 + PC 1 + 1 + ∆W2 L 1 + L 1 + ∆W2T 2
ˆ ' = βW ˆ ∆, W 2 2
∞
β sup
ˆT ˆ = βW 2
<1
ˆT ˆ 则可取 β sup = sup β β W 2
β
{
∞
ˆT ˆ < 1 = sup β β i W 2
β
}
{
∞
<1
}
1 = ˆT ˆ W
2
∞
图示鲁棒稳定性
ˆT ˆ < 1 也可以用图形来解释。注意到 条件 W 2 ∞
ˆ 变形为 P = 1 + ∆ ( s )W2 ( s ) P
构造乘积摄动模型
ˆ (s) ∆ P = P ( s ) = 1 + ∆ ( s )W2 ( s ) P
{
∞
≤1
}
点），此时称 ∆ ( s ) 是可容 许的（allowable)。
∆ ( s ) 为尺度因子。
s + as + 1

离散化不确定性：以离散的对象模型的集合来表示集 合模型。 1 e−τ s bs + 1
P =
2 3 2 s as 1 Ts 1 s a s a s 1 + + + + + + 2 1 , ,
非结构化不确定性模型 Unstructured Uncertainty
ω
∞
<1
~ ~ 令 F = 1+ L
(摄动系统的闭环特征多项式) ˆ L ˆ = 1+ L ˆ + ∆W ˆ L ˆ = 1 + 1 + ∆W 2 2 ˆ 1 + L ˆ + ∆W ˆ L ˆ ˆ + ∆W ˆT ˆ ˆ = 1+ L = 1+ L 2 2 1+ L ˆ 1+ L ˆT ˆF ˆ Im = 1 + ∆W
ˆT ˆ W 2
∞
ˆ ( jω ) L ˆ ( jω ) W 2 <1⇔ < 1, ∀ω ˆ 1 + L ( jω ) ˆ ( jω ) L ˆ ( jω ) , ∀ω ˆ ( jω ) < 1 + L ⇔W 2
-1
最后一个不等式表明，在每一个频率
ˆ ( jω ) 下，临界点-1都位于以 L 为圆
ˆ ( jω ) L ˆ ( jω ) 为半径的圆外， 心，以 W 2
∆
则称 β sup 为乘积摄动模型下的稳定裕度。

定理1可用于寻找乘积摄动模型下的稳定裕度
ˆ )P ˆ ∆ ≤ β = P = (1 + ∆ 'W ˆ ')P ˆ ∆' ≤ β 由 P = (1 + ∆W 2 2 ∞ ∞
' ∆ 其中 =
{
} {
}
∞
1
β ˆ 'T ˆ 则由定理1， 摄动系统℘( β )的内稳定 ⇔ W 2 1 ˆ ˆ < W T 即 2 ∞ β
∞
ˆ 设 W2T
= k ≥1
假定 ω
*
* * W j ω T j ω ( ) ( ) =k = 0 处，有 2
1 则若取 ∆ = − k
（满足 ∆
∞
* ），则在 处，有 ω ≤1
* F ( jω * ) = 0 由于 F = 1 + ∆W2T F ，则在 ω 处，
1 1 + ∆W2 ( jω ) T ( jω ) = 1 − ik = 0 k
(
)
ˆ ( jω ) 通过(-1,j0)点 即L
则摄动系统不稳定。证毕。
说明

设系统不确定性满足以下模型
ˆ ∆ ℘ (β ) = P = (1 + ∆W2 ) P
{
∞
≤β
}
ˆ 使标称对象 P ˆ 内稳定，则 ˆ ，设 C 给定控制器 C
若
β sup = sup β
ˆ 使得P ˆ内稳定 ∀P ∈℘( β sup ) , C
P k −1 = −1 ˆ k0 P
为取得最小上界，取 则
ˆ ( s ) = 4.95 W 2 5.05
min max
k0
0.1≤k ≤10
k 10 − 5.05 0.1− 5.05 4.95 −1 = = = k0 5.05 5.05 5.05
ˆ ( s ) = 5.05 P s−2
ˆ (s) P ( s ) = 1 + ∆ ( s )W2 ( s ) P
2 ∞
其中
Tˆ
为标称系统的补敏感函数
Tˆ =
ˆ ˆC P ˆ ˆC 1+ P
定理1的证明
充分性 ˆT ˆ <1 已知 W 2

∞
，摄动系统的开环传递函数
∆ ˆ L = PC = (1 + ∆W2 ) PC = (1 + ∆W2 ) L
根据Nyquist稳定性判据，由于标称系统内稳定
{
器C对于P中的每一个对象 稳定的。
保持闭环系统内稳定时，则称系统是鲁棒 P
}
Nyquist图
r
−
ˆ C
ˆ P
y
ˆˆ 开环传递函数 L = PC
闭环传递函数
ˆ=0 闭环特征方程 F = 1 + L
r→ y
ˆ L ˆ T= ˆ 1+ L
Im
s = σ + jω
jω
F ˆ ( s )

给定不确定性系统的模型（模型族） P 给定控制器C 给定系统的性能指标J
三 大 要 素
若 ∀P ∈ P ,闭环系统性能满足J，则称C对于P在J的意义下是鲁棒控制 器，或闭环系统在J的意义下具有鲁棒性

定义：鲁棒稳定性（乘积摄动）

ˆ 设P = P = (1 + ∆W2 ) P ∆ ∞ ≤ 1 为系统的不确定性模型，则当控制

( jω ) P ˆ P = (1 + ∆W2 ) P ⇒ −1 ≤ W2 ( jω ) ˆ P ( jω ) ˆ ( jω ) 为半径 W 对每个 ω ,上式表示一个以（1，j0)为圆心， 2
的圆。 简单，规范，但较保守。
1
例2：模型嵌入方法
结构化不确定性模型与非结构化不确定性模型之间的转换（结构化 不确定性模型嵌入非结构化不确定性模型） ˆ ( s ) = 1 （如理想的直流电机，无阻尼） 设标称模型为P −τ s s2 e (s) = , 其中τ ∈ [0,1] 设实际对象含有时间滞后，即 P 2
(
( ) ( )
2
) ( ) ( )
∞
( )
∆W2T
∞
≤ W2T
<1