1.5 定积分1． 定积分的概念定义1 设)(x f 在],[b a 上有界, 在],[b a 中任意插入若干个分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210把区间],[b a 分割成n 个小区间],[10x x , ],[21x x , , ],[1n n x x -, 各小区间的长度依次为,011x x x -=∆ ,122x x x -=∆1,--=∆n n n x x x .在每个小区间],[1i i x x -上任取一点),(1i i i i x x ≤≤-ξξ 作函数值)(i f ξ与小区间长度i x ∆的乘积i i x f ∆)(ξ),,2,1(n i =, 并作和式,)(1∑=∆=ni i i n x f S ξ记},,,,max{21n x x x ∆∆∆= λ如果不论对],[b a 怎样的分法, 也不论在小区间],[1i i x x -上点i ξ怎样取法, 只要当0→λ时, 和n S 总趋于确定的极限I , 我们就称这个极限I 为函数)(x f 在区间],[b a 上的定积分, 记为∑⎰=→∆==ni i i bax f I dx x f 1)(lim )(ξλ，其中)(x f 叫做被积函数, dx x f )(叫做被积表达式, x 叫做积分变量, ],[b a 叫做积分区间.2．求定积分过程中的辩证思维定积分中的极限方法可以使有关常量与变量、近似与精确、变与不变等矛盾的对立双方相互转化，从而化未知为已知，体现了对立统一法则.同时也体现了否定之否定法则: 为求总量U ，在取极限过程中，当∞→n 时，一方面使积分和∑=∆ni i i x f 1)(ξ中的积分元素ii x f ∆)(ξ转化为总量U 的微分,)(dx x f dU = 这是对总量U 的否定，这次否定的结果得到了U 的微分,dU 这是对总量U 的无限项细分；另一方面，当∞→n 时，积分和∑=∆ni i i x f 1)(ξ转化为对微分dU 的无限项相加，这是对dU 的否定，这一次否定的结果得到了总量U ，这是对dU 的无限积累.正是由于求定积分过程中包含着丰富的辨证思维，才使得高等数学 —— 主要是微积分 —— 巧妙地、有效地解决了初等数学所不能解决的问题. 3．定积分的近似计算矩形法的几何意义非常明确，就是用小矩形的面积近似作为小曲边梯形的面积，总体上用阶梯形的面积作为整个曲边梯形面积的近似值 4．定积分在几何中的应用（1）在直角坐标系下计算平面图形的面积 方法一面积元素dA =dx x x )]()([12ϕϕ-，面积A =x x x bad )]()([12ϕϕ-⎰第一步：在D 边界方程中解出y 的两个表达式)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=. 第二步：在剩下的边界方程中找出x 的两个常数值a x =，b x =；不够时由)(1x ϕ)(2x ϕ=解出， b x a ≤≤，)()(21x y x ϕϕ≤≤，面积S =x x x ba d )]()([12ϕϕ-⎰方法二面积元素dA =dy y y )]()([12ϕϕ-，面积A =y y y dcd )]()([12ϕϕ-⎰第一步：在D 边界方程中解出x 的两个表达式)(1y x ϕ=，)(2y x ϕ=.第二步：在剩下的边界方程中找出y 的两个常数值c y =，d y =；不够时由)(1y ϕ)(2y ϕ=解出，d y c ≤≤，)()(21y x y ϕϕ≤≤，面积S =y y y dcd )]()([12ϕϕ-⎰)（2）在曲边梯形)(x f y =、0=y 、a x =、b x =（b a x f <≥,0)(）中，如果曲边)(x f y =的方程为参数方程为⎩⎨⎧==)()(t y t x φϕ，则其面积dx y A ba⎰= =dt t t )(')(ϕφβα⎰，其中)(),(βϕαϕ==b a（3）极坐标系下计算平面图形的面积。

极坐标曲线)(θρρ=围成的面积的计算方法： 解不等式0)(≥θρ，得到βθα≤≤。

面积=θθρβαd 2)]([21⎰ （4）平行截面面积为已知的空间物体的体积过x 轴一点x 作垂直于x 轴的平面，该平面截空间物体的 截面面积为)(x A ，b x a ≤≤,则该物体的体积dx x A V ba )(⎰=（5）旋转体体积在],[b a 上0)(≥x f ，曲线)(x f y =、直线0,,===y b x a x 围成的曲边梯形 1）绕x 轴旋转一周形成旋转体，其截面面积)()(2x f x A π=， 旋转体体积⎰=ba dx x f V )(2π。

2）绕y 轴旋转一周形成旋转体：位于区间[x,x+dx]上的部分绕y 轴旋转一周而形成的旋转体体积)()()(22x f x x f dx x v ππ-⋅+≈∆dx x xf )(2π≈，原曲边梯形绕y 轴旋转一周形成的旋转体体积dx x xf V ba)(2⎰=π。

（6）平面曲线的弧长表中当)(θr r =时，θcos r x =，θsin r y =，θθθθsin )(cos )(''r r x -=，θθθθcos )(sin )(''r r y +=，弧微分θd y x ds 22''+=θd r r 22'+=。

1 求22-=x y ，12+=x y 围成的面积 【解析】⎪⎩⎪⎨⎧+=-=1222x y x y ，1222+=-x x ，1-=x ，3=x 。

当31<<-x 时1222+<-x x ，于是 面积⎰--=+-=--+=31313223210)331()]2()12[(x x x dx x x2 计算4,22-==x y x y 围成的面积 【解析】由25.0y x =，4+=y x 得，4,2=-=y y ，当42<<-y 时 45.02+<y y 面积=⎰--+422]5.04[dy y y =18。

3 求x 轴与摆线⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x ,π20≤≤t 围成的面积【解析】面积⎰⋅-=π202)cos 1(dt t a ⎰++-=π202)22cos 1cos 21(dt tt aπ202)22cos 1sin 223(t t t a ++-=23a π=4 星形线⎪⎩⎪⎨⎧==ta y ta x 33sin cos (0>a )围成的面积.【解析】面积⎰⎰-==adt t t t a ydx 02232)sin )(cos 3(sin 44π=⎰=-20364283)sin (sin 12ππa dt t t a5 一空间物体的底面是长半轴10=a ，短半轴5=b 的椭 圆，垂直于长半轴的截面都是等边三角形，求此空间体的体积。

【解析】截面面积)1001(2533221)(2x y y x A -⋅=⋅= ⎰-==1010325)(dx x A V ⎰-=-1010233100)1001(dx x6．摆线⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x )20(π≤≤t 与x 轴围成的图形【解析】1）绕x 轴旋转形成的旋转体体积 dx y V a 220⎰=ππdt t a 3320)cos 1(-=⎰ππ3a π=dt t t t )cos cos 3cos 31(3220-+-⎰π=225a π 2）绕y 轴旋转形成的旋转体体积 πππ2220=⋅=⎰ydx x V adt t t t a 2320)cos 1)(sin (--⎰π=dt t t a 2203)cos 1([2-⎰ππ])cos 1(sin 220dt t t -⋅-⎰π336a π=3）绕a y 2=旋转形成的旋转体的截面面积)4(])2()2[(22y a y y a a -=--ππ。

绕a y 2=旋转形成的旋转体体积dx y a y V a)4(20-=⎰ππdt t t t a )cos 1)(cos 3)(cos 1(320-+-=⎰ππdt t t t a )cos cos cos 53(32203++-=⎰ππ327a π=7． 求心形线)cos 1(4ϕρ+=与射线0=ϕ、2/πϕ=围成的绕极轴旋转形成的旋转体体积【解析】心形线的参数方程为x )cos (cos 42ϕϕ+=，)cos 1(sin 4ϕϕ+=y ，旋转体体积dx y V 280⎰=π=ϕϕϕϕϕππd )cos 21(sin )cos 1(sin 642202/+⋅+-⎰=π1608．求摆线⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x )0)(20(>≤≤a t π的长【解析】dt t a dx )cos 1(-=，tdt a dy sin =，a dt t a dy dx ds 2)1cos 21(222=+-=+=dt t2sin 。

弧长a t a dt t a s 82cos 42sin 22020=-==⎰ππ9．摆线⎩⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x 上求分摆线第一拱成1：3的点的坐标【解析】设A 点满足要求，此时c t =。

根据例2摆线第一拱成弧长a 8，a ds 2=dt t2sin 。

由条件弧OA 的长为a 2，即a dt t a c 22sin 20=⎰,32π=c ,点A 的坐标为)23,)2332((a a -π 10． 求星形线323232a y x =+的全长【解析】星形线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==ta y ta x 33sin cos ,π20≤≤t ,tdt t a dx sin cos 32-=,tdt t a dy 2sin cos 3=，t t t t a ds 4224sin cos sin cos 3+=dt t t a dt |cos sin |3=.弧长a tdt t a s 6cos sin 3420==⎰πa t 6sin 202=π。

11． 求对数螺线ϕρ2e =上0=ϕ到πϕ2=的一段弧长【解析】 ϕρ22'e =，弧长ϕρρπd s 2'220+=⎰=ϕϕπd e 2205⎰=)1(254-πe。