图4-1 矩 形 βx ) + c2 sin ( βx )
X ( x ) = c1 [β cos( βx ) + h1 sin ( βx )]
′ h1 = α1 λ1 , c1 = c1 β
4-3 4-4
′
再由边界条件得到
ξ − Bi1 ⋅ Bi2 cot (ξ ) = ξ (Bi1 + Bi2 )
βm
r1 − r 2
βm
r = r2
r βm r βm β = m 2 + 1 r r2 r1 2
下面讨论几个特殊问题： （1）零是特征值之一。温度场的解为
t (r , φ) = b1 + b2 ln r + ∑ Cm Rm (r )Φm (φ) （4-25）
1 ∂t 1 = a ∂τ H
∂ H ∂t ∑ ∂xi H 2 ∂x i =1 i i
3
（4-1）
hi ,1 ∂t − =0 H i ∂xi λ hi , 2 ∂t + =0 H i ∂xi λ t = f (xi )
x = bi x = di
（4-1a）
（4-1b） （4-1c）
τ =0
上式中，Hi 是正交坐标系的拉梅系数
分离变量法假设温度函数是n+1个单元 函数的乘积，n为空间坐标维数，即：
t ( xi ,τ ) = X 1 ( x1 ) X 2 ( x2 ) X 3 ( x3 )Γ(τ )
由此可得：
∂t t ( xi ,τ ) dΓ(τ ) = ∂τ Γ(τ ) dτ ∂t t ( xi ,τ ) dX i ( xi ) = ∂xi X i ( xi ) dxi ∂ H ∂t t ( x ,τ ) d H dX i ( xi ) ( 2 )= i ( 2 ) ∂xi H i ∂xi X i ( xi ) dxi H i dxi
X = 0 x = 0 X = 0 x = L1 Y ′′ − β 2Y = 0 Y =0 y=0
查表4-2，得出本例边界条件下的特征函数、特征值及特 征函数的模分别为
X m ( x ) = sin ( βm x )
sin ( βm L1 ) = 0 βm L1 = ξ m = mπ m = 1,2,3, L 1 N = 2 L1
∫
L1
0
h4t f ( x )X m ( x )dx
（4-9）
4.2.2
特征函数、 特征函数、特征值及模
特征函数、特征值及模由特征值问题的两个齐次边界 条件完全确定，不同的边界条件下的特征函数，求特征值 的表达式以及特征函数的模由表4-2所示，计算特征值的 表达式有如下六种形式： （1）两个齐次边界条件均是第一类边界条件。
4.1.2
稳态导热的分离变量法
稳态导热的导热微分方程中，非稳态项消失。根据 正交函数的正交性质，由一个非齐次边界条件，确定线 性叠加时所包含的待定常数，最终获得原导热问题的解。
4.2 直角坐标系中的二维稳态导热
4.2.1 无内热源常物性二维稳态导热 图4-1所示的矩形截面的柱体，其温度场仅是x，y函 数，材料为常物性，物体无内热源。当稳态导热时，问 题内的温度场满足拉普拉斯方程。边界条件中，只有一 个边界是非齐次边界条件，这里设 y=L2 的边界条件是 非齐次边界条件。
sin ( βm L1 ) = 0
（4-10）
（2）两个齐次边界条件均是第二类边界条件（绝热边界）。 sin ( βm L1 ) = 0 （4-11）
（3）两个齐次边界条件中，一个是第一类边界条件，一个 是第二类边界条件。 （4-12） cos βm L1 = 0
(
)
（4）两个齐次边界条件中，一个是第一类边界条件，一个 是第三类边界条件。设 x=0 处为第一类边界条件。 （4-13） βm cot ( βm L1 ) = − H 2 （4-13a） （5）两个齐次边界条件中，一个是第二类边界条件，一个 是第三类边界条件。设 x=0 处为第二类边界条件。 （4-14） βm tan ( βm L1 ) = H 2
图4-4 多个非齐次边界条件的稳态导热
4.2.4
变导热系数的二维稳态导热
如果导热系数随温度的变化不可忽略，就成为一个 变导热问题。变导热系数时的导热微分方程是非线形的， 用基尔霍夫变换可把非线形的导热微分方程变为线形的 微分方程。设导热系数 λ=λ(t) ，导热微分方程为
∂ ∂t ∂ ∂t λ + λ = 0 ∂x ∂x ∂y ∂y
非齐次边界条件多于一个时的稳态导热
4.2.3
非齐次边界条件多于一个时，可以变为几个简单的 导热问题。每个简单的导热问题中，非齐次边界条件只 有一个，然后用分离变量法求得每个简单导热问题的解， 最后叠加起来。求解原理如图4-4所示。 要注意的是，每一个简单的导热问题中的三个齐次 边界条件，一定要是原非齐次边界条件对应的齐次边界 条件。
t (r , φ ) =
由特征函数的正交性，得
∑C
m =1
∞
m
R m (r )Φ m (φ )
（4-23）
Cm =
式中
H =h λ
2 H ∫ t f (φ′) Φm (φ′)dφ′
φ1
′ φ1 [HRm (r2 ) + Rm (r2 )]
0
（4-24）
r2 Rm (r2 ) = r 1 ′ Rm (r2 ) = dRm dr
作基尔霍夫变换
（4-17）
T (t ) = ∫ λ(t ′) dt ′
t 0
（4-18）
则有 所以，式（4-17）变成
dT = λdt
∂ 2T ∂ 2T + 2 =0 2 ∂x ∂y
（4-19）
4.2.5
含内热源的二维稳态导热
含内热源的导热问题，导热微分方程中出现源项，因 而变为非齐次的偏微分方程
m =1
∞
ln r和r − βm 项。 （2）r1=0 的情形。Rm(r) 中，不应出现
（3）φ1 = 2π 的情况。温度函数应是以2π 为周期的周 期函数。
4.3.2
空间变量为(r, z) 的二维稳态导热 空间变量为(
除中心线外，短圆柱还有三个边界：r = r0 的圆柱 面及两个端面（短圆柱的中心线也是一个边界）。当三个 边界条件只有一个非齐次边界条件时，可以直接用分离变 量法求解，但非齐次边界所处的位置不同，下面分别讨论。
4.3 圆柱坐标系中的二维稳态导热
圆柱坐标系
∂ 2t 1 ∂t 1 ∂ 2t ∂ 2t qv + + 2 2 + 2 + =0 2 ∂r r ∂r r ∂φ ∂z λ
4.3.1 空间变量为
(r , φ, z )中，常物性时的导热微分方程为
（4-22）
(r, φ)的二维稳态导热
如图4-5所示，温度场的解为
式（4－2）左边是时间项，右边是空间项， 要想在物体内恒相等，只能为一参数，令等 于 −β2 则：
Γ ′(τ ) = − aβ 2 Γ (τ ) 1 d H dX i ( xi ) = −β 2 ∑ HX (x ) dx H 2 dx i =1 i i i i i
n
研究结果表明，在11种正交坐标系中，可分离成常微分 方程。表4-1列出11种正交坐标系，注明了可作为分离方 程解的函数形式。 表4-1
图4-2 特 征 值 的 图 解
图
u—
v—
的
特征值。
例4.1 图4-3所示是一个长矩形柱体的横截面，边长分别为 L1和L2 ，材料为常物性。由于柱体很长，且边界上的换热 条件与坐标z 几乎无关，因而可看作二维稳态导热。边界条 件如图中所示，试求柱体内温度场的表达式。
图4-3 矩 形 柱 体 内 稳 态 导 热
2
（4-5）
ξ 式中， = βL1 , Bi = α1 L1 λ1 , Bi2 = α2 L2 λ2
满足超越方程（4-5）的 ξ 或 β 值称为特征值。式 ci/ 后称为特征函数。即 （4-4）省去常数
X m ( x ) = βm cos( βm x ) + h1 sin ( βm x ) （4-6） Ym ( x ) = βm ch ( βm y ) + h3sh ( βm y )
第四章 多维稳态导热
稳态导热时物体内的温度分布是两个或 三个空间坐标的函数，则分别称为二维 稳态导热和三维稳态导热，统称多维稳 态导热。 多维稳态导热时，导热微分方程是偏微 分方程，其求解方法是偏微分方程的求 解方法。
4.1 分离变量法
4.1.1 非稳态导热的分离变量法 在物体中取正交坐标系xi (i=1,2,3)，物体的边界条 件bi≤xi≤di（ bi 和di 是常量），边界上均是第三类边界 条件。该问题的导热微分方程及定解条件为
将上式代入微分方程和边界条件，得
1 Γ' (τ ) 1 = a Γ(τ ) H
1 d H dX i ( xi ) ∑ X ( x ) dx [ H 2 dx ] i =1 i i i i i ( 4 − 2a ) (4 − 2b)
n
(4 − 2)
X i ' ( xi ) hi ,1 X i ( xi ) = 0 − λ Hi X i ' ( xi ) hi , 2 + X i ( xi ) = 0 Hi λ
2 m
m =1
N
[β m I 1 ( β m r0 )
柱体内温度场的
为
∂ 2θ ∂ 2θ + 2 = 0 (θ = t ( x, y ) − t w1 ) 2 ∂x ∂y
θ = 0 x = 0 θ = 0 x = L 1 θ = 0 y = 0 θ = t w 2 sin (πx L1 ) y = L 2