2021年高三11月月考（数学理）
第Ⅰ卷
一、选择题：（每小题5分,共40分）
1．若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 2．椭圆的离心率为 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．设方程的解集为A ，方程的解集为B,若，
则p+q= （ ） A ．２ B ．０ C ．１ D ．－１ 4．如图，正方形AB 1 B 2 B 3中，C ，D 分别是B 1 B 2 和B 2 B 3
的中点，现沿AC ，AD 及CD 把这个正方形折成一个四面体， 使B 1 ，B 2 ，B 3三点重合，重合后的点记为B ，则四面体 A —BCD 中，互相垂直的面共有（ ） A ．4对 B ．3对 C ．2对 D ．1对
5．某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“”到“”共个号码．公司
规定：凡卡号的后四位带有数字“”或“”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为 （ ） A ． B ． C ． D ．
6．对于上可导的任意函数，若满足，则必有 （ ） A ． B ．
C ．
D ．
7．在平面直角坐标系中，已知平面区域{}
()100A x y x y x y =+，≤，且≥，≥，则平面
区域{}
()()B x y x y x y A =+-∈，，的面积为 （ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 8．设是奇函数，则使的的取值范围是 （ ） A ． B ．
C ．
D ．
二、填空题：（每小题5分,共30分）
9． 函数()sin()(0,0,||)
2
f x A x A π
ωϕωϕ=+>><
的
部分图象如图所示，则 10．若向量、的坐标满足，
，则·等于 11． 。

12．等比数列的前项和为，已知，，成等差数列，则的公比为 ． 选做题：在下面三道小题中选做两题，三题都选只计算前两题的得分． 13．过点A （2,3）的直线的参数方程，若此直线与直线
相交于点B ，则＝ 。

14．如图3，⊙O 和⊙都经过A 、B 两点，AC 是⊙
的切线，交⊙O 于点C ，AD 是⊙O 的切线，交⊙于 点D ，若BC= 2，BD=6，则AB 的长为 15．设，则的最小值为_____________。

三、解答题： 16．（本小题满分12分）
已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．
17．（本小题满分12分）
从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率．
（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；
（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，
求的分布列．
18．（本小题满分14分）
2
-2
O
6
2 x
y
设数列满足21
1233333
n n n a a a a -++++=
…，． （Ⅰ）求数列的通项；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
19．（本题满分14分）
如图，已知是棱长为的正方体，点在上，点在上，且． （1）求证：四点共面；（4分） （2）若点在上，，点在上，，垂足为，求证：平面；（4分） （3）用表示截面和侧面所成的锐二面角的大小，求．（4分）
20．（本题满分14分）
如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点．一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于点． （1）若，求的值；（5分）
（2）若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；（5分） （3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由．（4分）
21．（本小题满分14分）
设函数，其中．
（Ⅰ）当时，判断函数在定义域上的单调性； （Ⅱ）求函数的极值点；
（Ⅲ）证明对任意的正整数，不等式都成立．
参考答案
一、选择题（每小题5分,共40分）
二、填空题（每小题5分，共30分）：
9．__ _________； 10
．___ -5________； 11．
______ ________； 12．______ __________； 13．________ _____； 14．____________________； 15．________ _____________ 三、解答题：
16．（Ⅰ）解：π()2cos (sin cos )1sin 2cos 224f x x x x x x x ⎛
⎫=-+=-=- ⎪⎝
⎭．
因此，函数的最小正周期为．
（Ⅱ）解法一：因为在区间上为增函数，
在区间上为减函数，
又，，3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫
=-==-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 故函数在区间上的最大值为，最小值为．
17．解：（1）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”， 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”． 则互斥，且，故
012
1
22
()()
(1)C (1)1P A P A p p p p =+=-+-=-
于是．
解得（舍去）．
（2）的可能取值为．
若该批产品共100件，由（1）知其二等品有件，故 ． ． ．
所以的分布列为
18． 解：（Ⅰ）
211233333
n n n
a a a a -++++=
…， ① 当时，2
2
12311
3333
n n n a a a a ---++++=
…． ② ①-②得，．
在①中，令，得． ． （Ⅱ）， ．
23323333n n S n ∴=+⨯+⨯++…， ③ 23413323333n n S n +∴=+⨯+⨯++…． ④
④-③得
12323(3333)n n n S n +∴=-++++…．
即， ． 19．（1）如图，在上取点，使，连结，
，则，． 因为，，所以四边形，都为平行四边形． 从而，．
又因为，所以，故四边形是平行四边形， 由此推知，从而． 因此，四点共面． （2）如图，，又，所以，
tan tan BM BG BGM BG CFB ==∠∠．
因为，所以为平行四边形，从而． 又平面，所以平面． （3）如图，连结． 因为，，
所以平面，得．
于是是所求的二面角的平面角，即．
因为，所以sin sin MH BM MBH BM CFB ==∠∠
21BM
BC CF ===
+， ．
解法二：
（1）建立如图所示的坐标系，则，，， 所以，故，，共面．
又它们有公共点，所以四点共面． （2）如图，设，则， 而，由题设得2
3203
GM BF z =-
+=， 得． 因为，，有， 又，，所以， ，从而，． 故平面．
（3）设向量截面， 于是，． 而，，得， ，解得，，所以． 又平面，
所以和的夹角等于或（为锐角）．
于是cos 14BP BA
BP BA
θ==
． 故．
20．解：（1）设直线的方程为，
将该方程代入得． 令，，则．
因为22
2
2OA OB ab a b c c =+=-+=，解得， 或（舍去）．故．
（2）由题意知，直线的斜率为22222
AQ
a c a a
b k a a b a b a +-===+--
．
又的导数为，所以点处切线的斜率为，
因此，为该抛物线的切线． （3）（2）的逆命题成立，证明如下：
设．
若为该抛物线的切线，则， 又直线的斜率为，所以，
得，因，有．
故点的横坐标为，即点是线段的中点． 21．解：（Ⅰ）由题意知，的定义域为，
322()211
b x x b
f x x x x ++'=+=++
设，其图象的对称轴为，
max 11()22g x g b ⎛⎫
∴=-=-+ ⎪⎝⎭
．
当时，，
即在上恒成立， 当时，，
当时，函数在定义域上单调递增．
（Ⅱ）①由（Ⅰ）得，当时，函数无极值点．
②时，3
122()01
x f x x ⎛
⎫+ ⎪
⎝⎭'=
=+有两个相同的解， 时，， 时，，
时，函数在上无极值点． ③当时，有两个不同解， ，， 时，，， 即，． 时，，随的变化情况如下表：
当时，， ， 此时，，随的变化情况如下表：
有一个极大值和一个极小值点； 综上所述：
时，有惟一最小值点；。