(1)用紧束缚方法处理晶格的s态电子，当只计及最
近邻格点的相互作用时，其能带的表示式为
r
ru r
E s(k)E s a tC SJs eik•R n,
n
ur R
n
是最近邻格矢．
对体心立方晶格，取参考格点的坐标为（0, 0, 0） 则８个最近邻格点的坐标为
a 2
,
a 2
,
a 2
18
将上述8组坐标代入能带的表示式，得
l
l
令
l' l 1
得
k(x a ) f(x l'a )k(x) eikak(x)
l
由上式知
eika 1
所以有
k0,2,4,6,K
aaa
由此得在布里渊区内的值为k=0。
4
2. 一维周期势场为
V(x) 1 2m W 2[b2(xna)2], nabxnab
0, (n1)abxnab
第五章 习题
1
1. 晶格常数为a的一维晶体中，电子的波函数为
（1）
k
(x)
icos3
a
x
（2）
k
(x)
f
(xla)，f是某一函数，求电子在以
l
上状态中的波矢。
2
[求解]
由《固体物理教程》（5.14）式
k(r v R v n ) e ik v R v n k(r v )
可知，在一维周期势场中运动的电子波函数满足
9
第二禁带宽度为
Eg2
2V2
21 a
a2V(x)ei4axdx
a 2
2 1 b 1mW2(b2x2)eibxdx 4b b2
21 b1m W 2(b2x2)cos(x)dx
4bb2
b
m W 2b2 2
10
5. 对简立方结构晶体，其晶格常数为a。 （1）用紧束缚方法求出对应非简并s态电子能带； （2）分别画出第一布里渊区[110]方向的能带、电 子的平均速度、有效质量以及沿[110]方向有恒定电 场时的加速度曲线。
带如图所示
13
电子的平均速度 v1E22JSasin( 2ka)
hk h
2
平均速度曲线
14
电子的有效质量
m
h2 2E k2
2JSa2
h2 cos(
2ka ) 2
有效质量曲线
15
在[110]方向上有恒定电场情况下，电子受的力
Fe
电子的加速度
F e2JSa2cos(
am
h2
2ka) 2
设电场方向与[110]方向相反，加速度曲线则如图
11
[求解]
非简并s态电子的能带
v
vv
E s(k) E sa t C S J S e ikR n
n
式中Rn是晶格参考格点的最近邻格矢。
对于简单立方晶体，任一格点有6个最近邻，取
参考格点的坐标为(0, 0, 0)， 6个最近邻坐标为
(a,0,0) (0, a,0) (0,0, a)
简单立方晶体非简并s态电子的能带则为
16
7．用紧束缚方法处理体心立方晶体，求出 (1) s态电子的能带为
E s(k r) E s a t C S 8 J sc o sk 2 x a c o sk 2 y a c o sk 2 za ;
(2) 画出第一布里渊区[111]方向的能带曲线； (3) 求出带底和带顶电子的有效质量.
17
[解答]
其中a=4b，W为常数，试画出此势能曲线，并求
出势能的平均值。
5
[求解] 图：一维周期势场
V(x) 1 2m W 2[b2(xna)2], nabxnab
0, (n1)abxnab
6
由图所示，由于势能有周期性。因此只有一个周 期内求平均即可，于是得
V1a2V(x)dx1
b
V(x)dx
aa2
Cs
8Js
cos
kxa 2
cos
kya 2
cos
kza 2
19
(2) 在[111]方向上
kx ky kz
3 k, 3
且第一布里渊区边界在
kx
ky
kz
a
于是能带化成
EE0
8Js
cos3
3ka 6
其中 E0 Esat CS
第一布里渊区[111]方向的能带曲线
20
(3) 由能带的表示式及余弦函数的性质可知，当
kx=ky=kz=0时，Es取最小值，即kx=ky=kz=0是能带 底，电子有效质量为
i a
2
kx ky kz
Esat
Cs
2
J
s
[e
i
a 2
k
x
k
y
cos
kza 2
e i a 2
kx ky
cos
kza 2
e
i
a 2
k
x
k
y
cos
kza
e i a 2
kx ky
cos
kza]
2
2
Esat
Cs
4Js
e
i
a 2
k
x
e
ia 2kx来自cos kya 2
cos
kza 2
Esat
v E s ( k ) E s a t C S J S ( c o s k x a c o s k y a c o s k z a )
12
（2）在[110]方向上
kz
0,
ky
kx
2k 2
能带变成
v
2ka
Es(k)E04JS(cos 2 )
其中
E0Esat CS2JS
在[110]方向上，在第一布里渊区内，电子的能
Eg=2|Vn|，其中Vn是周期势场V(x)付里叶级数的系 数，该系数可由《固体物理教程》（5.22）式
求得 Vn
1 a
a 2
i2nx
V(x)e a dx
a
2
第一个禁带宽度为
Eg12V1
21 a
a2V(x)ei2axdx
a 2
2 1 b 1mW2(b2x2)ei2bxdx
4b b2
24 1 b b b1 2m W 2(b 2 x2)c o s(2 bx )d x 8 m W 3 2 b 2
由此得 （1）
于是
k(xa)eikak(x)
k(xa)icos[3a(xa)]icos(3ax)
icos(3x)
a eika 1
k,3,5,K
aa a
因此得 k,3,5,K
aa a
3
若只取布里渊区内的值： k
a
a
则有
k
a
（2）
k(x a ) f(x a la ) f[x (l 1 )a ]
r
r ur
Es (k )
E
at s
Cs
Js
eik•Rn
n
Esat
Cs
J
s
[e
i
a 2
k
x
k
y
k
z
i a e2
kx ky kz
i a e2
kx ky kz
i a e2
kx ky kz
i a e2
kx ky kz
e e e ] i a 2
kx ky kz
i a
2
kx ky kz
4bb
1 b 1mW2[b2x2]dx
4b b2
mW 2 [b2 x
b
1 x3]
8b
3
b
1 mW 2b2 6
V(x) 1 2m W 2[b2(xna)2], nabxnab
0, (n1)abxnab
7
3. 用近自由电子模型求解上题，确定晶体的第 一及第二个禁带宽度。
8
[求解]
根据教科书（5.35）式知禁带宽度的表达式为