b
mω2
b2
x2
i
e
2π a
x
dx
4b b 2
2 1 4b
b mω2 b 2
b2 x2 cos π x dx 2b
8mω2b2 π3
第二禁带宽度为
Eg2 2V2
21 a
a2
V
a 2
i 4π x
x e a dx
2 1
b
mω2
b2
x2
i π
eb
x
dx
4b b 2
2 1 4b
1
eα x ,α为正的常数。
α
（1）试写出该晶体的紧束缚近似波函数；
（2）证明上面写出的紧束缚近似波函数具有布洛赫波函数 的性质；
（3）对比说明孤立原子的电子和晶体中的电子的波函数及 能量的特征。
解：（1）按紧束缚近似，三维晶体电子的波函数为
ψat k,r
1 N
e ikRl aαt
ห้องสมุดไป่ตู้Rl
k Rl
能带中的能量取最小值
Emin E0 A 8J
当 kx 1 a ,k y 1 a ,kz 1 a 时，
能量取最大值
Emax E0 A 8J
因而能带的宽度为
ΔE Emax Emin 16J
5.5由N格原子组成的三维晶体（简单晶格),其孤立原子中的
电子基态波函数为at x
V(x) 解：
x
O
a
2a
3a
如图所示，由于势能具有周期性，因此只在一个周期内求平均
即可，于是得
V 1 a 2 V xdx 1 2b V xdx
a a 2
4b 2b
1 b 1mω2 b2 x2 dx 4b b 2
mω2 8b
b2 x
1 3
x
3
b b
1 mω2b2 6
5.3 用近自由电子模型求解上题，确定晶体的第一及第二个禁带
kza 2
e
i
a 2
k
x
ky
cos
kza 2
i a
e2
kx ky
cos
kza 2
e
i
a 2
k
x
k
y
cos
kza 2
E
at s
A
4J
e
i
a 2
k
x
e
i
a 2
k
x
cos
kya 2
cos
k
z
a
2
E
at s
A
8Jcos
kxa 2
cos
kya 2
cos
kza 2
由余弦函数的性质，用观察法即可断定，当 kx k y kz 0 时，
一维晶体情况下，晶格常数a ，Rl na
所以
ψ k, x
1
N
e ikna aαt
n
x na
又
at
x
1
e α x
α
得
ψ
k, x
1
e ikna e α xna
Nα n
（2） 按正交化平面波方法，三维晶体电子的波函数为
x
1 NΩ
ei k ki r
M
j1
μΦ ij j,k ki
e ψ irRn k
r
可知，在一维周期势场中运动的电子波函数满足
ψk x a eiknaψk x
由此得
（1）
sin
π a
x
a
sin
π a
x
π
1n sin π x eikna sin π x
a
a
于是
eikna 1 n
因此得 kna 2s 1nπ 所以 k 2s 1 π s 0,1,2...
宽度。
解：在布里渊区边界上，电子的能量出现禁带，禁带宽度的表示
式为
Eg 2Vn
其中 Vn 是周期势场V(x)付里叶级数的系数，该系数可由式
Vn
1 a
a2
V
a 2
i 2π nx
x e a dx
求得。第一禁带宽度为
Eg1 2V1
21 a
a2
V
a 2
i 2π x
x e a dx
2 1
由上知 eikna 1
可知 kna 2sπ
所以 k 2s π s 0,1,2... n 1,2...
na
5.2 电子在周期场中得势能
V x
1 2
mω2
b2
x
na2
0
当na b x na b
当n - 1a b x na b
且 a 4b,ω是常数。试画出此势能曲线，并求此势能的平均值。
b mω2 b 2
b2 x2 cos π xdx b
mω2b2 π2
5.4 用紧束缚方法导出体心立方晶体s态电子的能带
E
k
E
at s
A 8J cos
kxa 2
cos
kya 2
cos
kza 2
并求能带宽度。
解：用紧束缚方法处理晶格的s态电子，当只计及最近邻格点
的相互作用时，其能带的表示式为
e
i
a 2
E
at s
A
J
ia
kx ky kz
ia
e 2
ia
kx ky kz
e 2 kx k y kz e 2 kx k y kz
e
i
a 2
kx ky kz
ia
e 2
kx ky kz
E sat
A
2J
e
i
a 2
k
x
k
y
cos
Ek
E
at s
A
J
e ikRn
, Rn是最近邻格矢
n
对体心立方晶格，取参考格点的坐标为（0，0，0）， 则8个
最近邻格点的坐标为
a , a , a 2 2 2
将上述8组坐标代入能带的表示式，得
Ek
E
at s
A
J
e ikRn
n
ia
ia
e 2 kx k y kz e 2 kx k y kz
r
μ δ
ij
k,k ki
1
Ω
ajt
Ω
r Rl
e
i
k
ki
r
Rl
dτ
Φ jk
1 N
e ikRl ajt
l
r Rl
对于一维晶体情况下，晶格常数 a ，Rl na ，Ω a
x
1 Na
e
i k ki
x
M
μΦ
ij j1
j,k ki
x
μ δ
ij
k,k ki
a
（2）
icos
π a
x
a
icos
π a
x
π
eikna cos
x a
即
eikna i n
得
kna 2s 3 nπ
2
所以
2s 3
k 2 π s 0,1,2...
a
（3）
ψk x a f x a la f x l 1a
l
l
令 l l 1
得 ψk x a f x la ψk x eiknaψk x l
（优选）固体物理习题
5.1 一维周期场，电子的波函数 ψk x 应当满足布洛赫定理。
若晶格常数为 a ，电子的波函数为
（1）
ψk
x
sin
x a
π;
（2）
ψk
x
icos
x a
π;
（3）ψk x f x la
l
（ f 为某一确定的函数）
试求电子在这些状态的波矢。
解： 由式
ψk
r Rn
1 a
ajt
a
x na e ik ki xna dx
此处
at
x
1
eα x
α
μ δ
ij
k,k ki
1
e e dx α xna
i k 2 π n xna
a
aα a
Φ jk
1 e ikna e α xna Nα n