上海大学2011～2012 学年冬季学期课程论文课程名称：线性代数与几何课程编号：01014108 论文题目:关于矩阵的可逆性探讨作者姓名: 学号: 成绩:论文评语:评阅人:评阅日期:关于矩阵的可逆性探讨姓名：学号：摘要：本文首先给出矩阵可逆的定义、性质，其次探讨矩阵可逆的判定方法、逆矩阵的求法以及矩阵可逆的应用，特别是在编码、解码方面的应用。

最后，本文对可逆矩阵进行了相应的推广。

关键词：矩阵矩阵的逆秩广义逆正文：引言在这篇文章中涉及到一些线性代数中的专有符号，在此做些说明。

r（A）是矩阵 A 的秩、A是矩阵 A 的行列式。

写这篇文章主要是对矩阵的可逆性由来及定义、性质、应用等等进行探讨。

这篇文章的其余部分是这么编排的，章节一是矩阵的定义，章节二主要是逆阵的性质，章节三是逆矩阵的判定方法，接下来的章节四是逆矩阵的求法，章节五就是逆矩阵的应用，最后一个章节是对矩阵逆的推广。

章节一：矩阵逆的定义首先，迎面而来的问题是逆矩阵是什么呢，我们为何要映入逆矩阵的概念。

从以前学到的知识中我们知道，矩阵和复数相仿，有加、减、乘三种运算，为了要完善矩阵的运算，我们因此引入了矩阵的逆这个概念。

对于 n 阶矩阵 A，如果有一个 n 阶矩阵 B，使得 AB=BA=I，则说矩阵 A 是可逆的，并把矩阵 B 称为A 的逆矩阵，A 的逆矩阵记为A-1 。

章节二：可逆矩阵的性质1、若矩阵 A、B 均可逆，则矩阵 AB 可逆，其逆阵为 B -1 A -1 ，当然这一性质可以推广到多个矩阵相乘的逆。

2、若 A 可逆，则A-1也可逆，且(A-1)-1=A；3、若A 可逆，数≠ 0 ，则A可逆，且(A)-1=1A-1；4、若 A 可逆，则A T 也可逆，且（A T ）-15、( A ')-1= ( A-1 )'.=（A -1）T 。

6、逆矩阵还有一个性质，就是矩阵的逆是唯一的，下面给出相应证明：这里运用反证法，如果 A 是可逆矩阵，假设 B,C 都是A 的逆，则有AB=BA=E=AC=CA B=BE=B（AC）=（BA）C=EC=C（与B ≠C 矛盾）所以是唯一的。

章节三：矩阵可逆的判定方法矩阵可逆有如下若干充要条件：（A 为n 阶方阵）1、存在 B 为n 阶方阵，使得 AB=I；2、对于 PAQ=3、A ≠ 0 ；Ir，其中 r（A）=n；4、A 的行向量组线性无关；5、A 的列向量组线性无关；6、A 可表示成一系列初等矩阵的乘积；7、A 可经过一系列初等行变换化成单位矩阵 I；8、A 可经过一系列初等列变换化成单位矩阵 I；9、对于齐次线性方程组 AX=0 只有零解；10、 A 是非奇异矩阵。

章节四：矩阵的逆的求法1、从初等变换角度( A I) −行−初−等变−换→(I A-1)具体方法是：欲求 A 的逆矩阵时，首先由 A 作出一个n ⨯ 2n 矩阵，即( A E) ，其次对这个矩阵施以行初等变换( 且只能用行初等变换) ，将它的左半部的矩阵 A 化为单位矩阵，那么原来右半部的单位矩阵就同时化为AAA ⎪⎨ ⎛ A ⎫ ⎛ E ⎫ 行初等变换-1⎪ ⎪A -1 ：( A I) −−−−→(I A ) 或者 ⎪ −列−初−等变−换→ ⎪ E ⎪ A -1 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭注：在事先不知道 n 阶矩阵是可逆的情况下，也可直接用此方法。

如果在初等变换过程中发现左边的矩阵有一行元素全为 0，则意味着 A 不可逆。

2、从矩阵 A 的伴随阵（伴随矩阵）定义：设 A = (a ij ) 是 n 级方阵，用 A ij 表示 A 的(i , j ) 元的⎛ A 11 代数余子式(i , j = 1 n ) ，矩阵 A 12⎝ 1n A 21 A 22A 2n A n 1 ⎫ A n 2 ⎪ 称为 A 的伴随矩阵，记作 A*。

⎪ nn ⎭定理矩阵 A 可逆的充分必要条件是 A ≠ 0 ，并且当 A 可逆时,有A -1 =1A *。

则根据本定理，也可计算出 A 的逆阵。

这个定理不仅可以求一个矩阵的逆，并且还可以判断矩阵是否可逆，但是这种方法主要用在理论上以及 2 级或 3 级矩阵的情形，如果阶数较大，那么使用此方法计算量太大。

对伴随矩阵的小拓展：伴随矩阵的定义，强调伴随矩阵中元素的构成规律；伴随矩阵常用的性质对于任意的方阵 A 均有此伴随矩阵 A *使得AA * = A * A = A E 。

当 A ≠ 0时，A -1 = 1A *,当 A = 0时：AA * = A * A = 0对于一般地方阵 A ，其伴随矩阵 A * 的秩为：⎧ n r ( A *) = ⎪1 ⎪ ⎩ 若 r ( A ) = n 若r ( A ) = n -1若r ( A ) ≤ n - 2A 0当A≠0时，A*= A n-1,当A = 0时A*= 0 。

由定理逆矩阵判定的方法还有：推论1 n 级矩阵A 可逆的充要条件是矩阵A 的秩为n。

推论2 矩阵A 可逆的充要条件是它的特征值都不为0。

推论3 n 级矩阵A 可逆的充分必要条件是它的行( 或列) 向量组线性无关。

3、初等变换法（初等行变换初等列变换初等行列变换）定义对矩阵施行以下三种变换称为矩阵的初等变换：(1)交换矩阵的两行( 列) ；(2)以一个非零的数k 乘矩阵的某一行( 列) ；(3)把矩阵的某一行（列) 的k 倍加到另一行( 列) 。

定理方阵A 可逆的充分必要条件是A 可表示为若干个同阶初等矩阵的乘积。

4、待定系数法具体说来，待定系数法也就是定义法的具体应用，假设出矩阵 A 的逆阵 B，根据 AB=I，展开相乘再根据矩阵的相等就可解出逆阵 B 的各元。

章节五：矩阵逆的应用（主要在编码、解码方面）矩阵密码法是信息编码与解码的技巧，其中的一种是基于利用可逆短阵的方法．先在26 个英文字母与数字间建立起一一对应，例如可以是A B ……Y Z………………1 2 …… 25 26若要发出信息“SEND MONEY”，使用上述代码，则此信息的编码是19，5， 14，4，13，l 5，14，5，25，其中5 表示字母E．不幸的是，这种编码很容易被别人破译．在一个较长的信息编码中，人们会根据那个出现频率最高的数值而猜出它代表的是哪个字母，比如上述编码中出现次数最多的数值是5，人们自然会想到它代表的是字母E，因为统计规律告诉我们，字母E 是英文单词中出现频率最高的．我们可以利用矩阵乘法来对“明文”SEND MONEY 进行加密，让其变成“密A⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 文”后再行传送，以增加非法用户破译的难度，而让合法用户轻松解密．如果一个矩阵A 的元素均为整数，而且其行列式 A= ± 1，那么由 A -1 = 1 A *即知，A -1的元素均为整数．我们可以利用这样的矩阵A 来对明文加密，使加密之后的密文很难破译．现在取⎡1 2 1⎤ ⎢2 5 3⎥ A=⎢⎣2 3 2⎥⎦ 明文“SEND MONEY”对应的9 个数值按3 列被排成以下的矩阵⎡19 4 14⎤ ⎢ 5 13 5 ⎥ B=⎢⎣14 15 25⎥⎦矩阵乘积⎡1 2 1⎤ ⎡19 4 14⎤ ⎡ 43 45 49 ⎤ ⎢2 5 3⎥ ⎢ 5 13 5 ⎥ = ⎢105 118 128⎥ AB=⎢⎣2 3 2⎥⎦ ⎢⎣14 15 25⎥⎦ ⎢⎣ 81 77 93 ⎥⎦ 对应着将发出去的密文编码：43，105，81，45，118，77，49，128，93 合法用户用A 1去左乘上述矩阵即可解密得到明文．为了构造“密钥”矩阵A ，我们可以从单位阵I 开始，有限次地使用第三类初等行变换，而且只用某行的整数倍加到另一行，当然，第一类初等行变换也能使用．这样得到的矩阵A ，其元素均为整数，而且由于 A = ± 1可知， A -1的元素必然均为整数．章节六：可逆矩阵的推广———广义逆众所周知，目前我们所学习、所了解的矩阵的可逆都是建立在 n 阶方阵的基础上，那如果是长方阵呢，对于长方阵，是否也有逆的性质，长方阵的逆又是怎样的呢？现在经过查阅资料，我对矩阵的逆来做些推广，这也就是标题中所说的长方阵的广义逆。

逆是逆元的简称，跟 n 阶方阵一样，长方阵与其广义逆之间也有着相应的关系——AXA=A。

这边的 X 就成为长方阵 A 的广义逆，记为 A 或者 A-。

若A 为非奇异矩阵,则线性方程组A=b 的解为A-=A(A-b，其中A 的逆矩阵A(A-满足 AA(A-=A(A=I(I 为单位矩阵)。

若 A 是奇异阵或长方阵。

A=b 可能无解或有很多解。

若有解,则解为 Xb+(I-XA),其中是维数与 A 的列数相同的任意向量,X 是满足 AXA=A 的任何一个矩阵，通常称 X 为 A 的广义逆矩阵,用 A-等符号表示,有时简称广义逆。

当 A 非异时 ,A(A-也满足 AA(A-A=A,且。

故非异阵的广义逆矩阵就是它的逆矩阵，说明广义逆矩阵确是通常逆矩阵概念的推广。

结束语：本次矩阵可逆性的探讨这个 project 看似很复杂，但其中的大部分只是都是我们已经掌握了的，我想这个 project 帮助我们回忆巩固了许多知识，并且对于逆的推广，是对我们创造力、思维能力的有效培养。

参考文献：[1]王萼芳、石生明.高等代数.高等教育出版社..2003 年第三版；[2]李尚志.线性代数.高等教育出版社.2006 年第一版.。