主观概率—先验分布估计:比较法
❖ 比较法1-离散型（对事件发生的各种状态加以比较确定 相对似然率）
▪ 某气象专家对当年的气候状况进行评估，认为当年
气候正常(1)与受灾的可能性之比约为3:2；如果受 灾，则水灾(2)、旱灾(3) 的可能性相当。据此，
我们可推算出当年气候状况的先验分布：
(1)+(2)+(3)=1; (1)/((2)+(3))=3/2; (2)=(3)
后果的效用：后果价值的量化。由后果的不确定 性，对于不同决策后果的效用是不同的。
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2021年3月10日
二. 随机性决策的基本概念
1 、 主观概率
随机性决策问题后果的不确定性是由状态的不 确定性引起的，状态的不确定性不能通过在相同条 件下的大量重复试验来确定其概率分布。实际中只 能由决策人主观地做出估计，称其为主观概率。
解得： (1)=0.6，(2)=0.2，(3)=0.2
●●●●●○ ★
选7中（5+1）
●●●●●○
选7中（5）
●●●●○○ ★ ●●●●○○
选7中（4+1） 选7中（4）
●●●○○○ ★
选7中（3+1）
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2021年3月10日
一、问题的引入－彩票与数学
“彩票中的数学”问题（CUMCM2002-B 要）解决的问题：
（1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项 出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的 吸引力等因素评价各方案的合理性。
主观概率遵循客观概率应该遵循的假设、公理、 性质等，客观概率的所有逻辑推理方法均适用于主 观概率。
设定主观概率的方法：主观先验分布法、无信息 先验分布法、极大熵先验分布法和利用过去数据设定 先验分布法等。
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2021年3月10日
❖ 客观(Objective)概率：上述三种定义的概率是在多次重复 试验（随机试验）中，随机事件A发生的可能性的大小的 度量，称为客观概率。
❖ 主观(Subjective)概率：在实际管理决策中，许多事件的发 生概率是无法通过随机试验获得的，或条件不允许，或事 件本身不允许。因此需要一种方法来人为设定事件发生的 概率，称为主观概率。主观概率是人们根据经验、各方面 的知识以及了解到的客观情况进行分析、推理、综合判断 ，对特定事件发生的可能性的信念（或意见、看法）的度 量(Savage,1954)。
随机决策分析方法
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2007年12月27日
第十六章 随机性决策分析方法
随机性决策问题的基本概念； 效用函数的概念； 效用与风险的关系； 随机优势与效用函数的关系； 案例分析：彩票中的数学问题。
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2021年3月10日
一、问题的引入－彩票与数学
彩票中的数学知多少？
你们了解彩票吗？ 你们买过彩票吗？ 你们了解彩票的规
（2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据 此给彩票管理部门提出建议。
（3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。
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2021年3月10日
二. 随机性决策的基本概念
随机性决策问题包含两个方面： • 决策人所采取的行动方案(决策); • 问题的自然状态(状态)； 基本特点：后果的不确定性和后果的效用。
后果的不确定性：由问题的随机性，使问题会出 现什么状态的不确定性，决策人做出决策后会出 现后果的不确定性。
则吗？
请问几个问题： （1）博彩有规律可寻吗？ （2）现行的各种彩票方案中奖的 可能性有多大？ （3）现行的彩票方案合理吗？哪 种方案“好”？ （4）我们应该如何看待N彩o,I票do？n’中t 国的彩票业还有多大的发k展no空w!间？
我啊想！应有该这有么悬 规律乎吧吗！？
3
2021年3月10日
一、问题的引入－彩票与数学
abcdef
g
abcdef
abcdeX Xbcdef abcdXX XbcdeX XXcdef
abcXXX XbcdXX XXcdeX XXXdef
abXXXX XbcXXX XXcdXX XXXdeX XXXXef
说明
选 7 中 （ 6+1 ）选7中（6） 选7中（5） 选7中（4） 选7中（3） 选7中（2）
选7中（7）
●●●●●●○ ★ 选7中（6+1）
●●●●●●○
选7中（6）
●●●●●○○ ★ 选7中（5+1）
●●●●●○○ ●●●●○○○ ★
选7中（5） 选7中（4+1）
●●●●○○○
选7中（4）
36 选 6+1（6+1/36）
基本号码
特别号
码 ●●●●●●
★
说明 选7中（6+1）
●●●●●●
选7中（6）
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2021年3月10日
一、问题的引入－彩票与数学
“彩票中的数学”问题（CUMCM2002-B ）
“乐透型”有多种不同的形式，比如“33选7”的方案和 “36选6+1”的方案，
中奖 等级
一等奖 二等奖 三等奖 四等奖
五等奖 六等奖
七等奖
33 选 7（7/33）
基本号码 特别号码 说 明
●●●●●●●
❖ 先验假设 ：为使先验分布估计规范化，需要做一定的假 设。 B), p(A)~p(B), p(A)<p(B)必有一个成立。 ▪ 传递性假设：若对事件A、B、C，有p(A)>p(B), p(B)>p(C), 则p(A)>p(C)。（满足连通性和传递性的二 元关系才能构成完全序） ▪ 部分与全体关系假设：若事件A是事件B的一部分，则 p(B)≥p(A)。
❖ 公理化定义：E是随机事件，S是E的样本空间，对E的每一 事件A，对应有确定的实数p(A)，若p(A)满足：①非负性： p(A)≥0；②规范性：p(S)=1；③列可加性：对两两不相容 事件Ak，有p(∪kAk)=Σkp(Ak)。(Ai∩Aj=Φ,i≠j)
主观概率—先验分布与先验假设
❖ 先验分布(Prior Distribution)：根据先验信息所确定的概 率分布叫先验分布，获得先验分布是贝叶斯分析的基础。 决策中先验分布的获得具有高度的主观性。
“彩票中的数学”问题（CUMCM2002-B ）
近年来“彩票飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越 多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“传 统型”和“乐透型”两种类型。
“传统型”采用“10选6+1”方案：
中奖 等级
一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 五等奖 六等奖
基本号码
10 选 6+1（6+1/10） 特别号码