对应分析建模与应用*林海明1 林媛媛21.广东商学院经济贸易与统计学院2.香港科技大学数学系摘要：传统的对应分析是方法不唯一、没有模型的一种统计方法，其在满足对数据进行非线性预处理变换或应用主成分等的条件下，一些变量和样品失去了对应关系，导致结果粗略，甚至不解决问题。

为了完善和发展对应分析，这里根据对应分析的目的，用数学建模方法，给出了相应数学公式，提出了对应分析模型，应用因子分析主成分法的因子分析图—将因子载荷图加到其因子得分图中的图，证明了：因子分析图是对应分析模型的图形解。

给出了一个较清晰的分类标准，用理论和例说明了因子分析图的优良性。

从而建立了对应分析的模型和优化理论。

关键词：对应分析；建模；因子分析图；应用中图文分类号：O212 文献标识码：A一、引言数据的维数不大于3时，数据能显示在立体、平面或直线上，这有助于人们从图形中直观地看出样品的相异性(距离)、变量(指标)的相关性及其方向、变量对样品位置的贡献等特征。

但常见的是，数据的维数大于3，这已不能用常规方法点图。

自20世纪70年代以来，这一直是人们所关注的问题，人们想了不少办法。

其研究的目的之一是：“将原始数据‘拟合’到一个低维坐标系中，使得由降维所引起的任何变形达到最小。

”[1] 当变形是指样品的相异性(距离)或变量的相关性时，是多维标度变换；[1]多维标度变换现在已经成为一种广泛用于心理学、市场调查、社会学、政治学、物理学及生物学等领域的数据分析方法，但其局限性是仅反映样品的相异性或仅反映变量的相似性。

当变形是同时指①样品的相异性(距离)、②变量的相关性及其方向和③变量对样品位置的贡献关系等时，这将是对应分析。

显然，对应分析的理论和方法比多维标度变换更重要、更深入。

目前，国内外流行的对应分析有两个：其一是美国统计学教授R. A. Johnson等[1](2007) 给出的双重信息图，它是将数据阵作标准化的预处理变换，应用主成分分析降维，将变量的信息加到主成分值图中去，从图中可以看出样品之间是如何分组聚集的(无相关性)，以及变量对样品位置的贡献；其二是法国统计学家J.P.Beozecri[2](1970)给出的对应分析(下称B氏方法)，它是对数据阵作一类似“概率”的列联表，按独立性检验χ2统计量的一般项进行预处理变换，用主成分分析(或初始因子)降维，将变量和样品的主成分(或初始因子)点在同一张图上，使得问题的分析带来许多方便[3]。

以下内容涉及到指标(或称变量)方向，称越大越好的指标为正指标；称越大越不好的指标为负指标(取负数加一常数后有正向意义)或逆指标(取倒数乘一常数后有正向意义)。

现在说明传统对应分析法存在的不足：例1 [1]表12.9列出了1995年美国25所大学本科办学情况的数据，指标为：X1-新生的平均SAT得分，X2-新生中在高中时期名列班上前10%的人数百分比，X3-报名者被接受入*教育部人文社会科学研究规划基金项目资助，项目批准号：09YJA910002；教育部人文社会科学重点研究基地重大项目资助，项目批准号：2009JJD910001；广东省普通高校人文社科研究项目资助，项目批准号：10WYXM020；广东商学院科学研究重点项目资助，项目批准号：08ZD11001。

12学的百分比，X 4-学生与教师的比例，X 5-估计的年费用，X 6-毕业率(%)。

X 1、X 2、X 5、X 6是正指标，X 3是负指标，X 4是逆指标。

样品1-哈佛大学、2-普林斯顿大学、3-耶鲁大学、4-斯坦福大学，5-麻省理工学院是人们认为好的名校。

[1]有双重信息图1，其中横轴是第一主成分轴，纵轴是第二主成分轴，x i 为该方法的变量，编号为样品代码。

给出了相近样品、变量对样品影响的一些分析，但没有注意：(1)双重信息图1没有对负指标X 3和逆指标X 4进行正向变换、主成分分析不能旋转[5]，使得变量相关性及其方向不清晰，一些变量失去了应有的方向和意义、一些样品失去了应有的位置特征。

在图1中，正指标X 1、X 5有正、负值(第四象限)；逆指标X 4有负、正值(第二象限),即指标X 1、X 4、X 5失去了应有的方向和意义；好的名校5-麻省理工学院的坐标值有正、负值(第四象限)等，即样品5-麻省理工学院等失去了好的位置特征。

(2)B 氏方法没有对负指标X 3和逆指标X 4进行正向的变换，没有旋转功能，对数据阵的预处理变换不是线性变换(证明见后)，其降维坐标系没有正向化，使得变量相关性及其方向同样不清晰，且数据变形太大。

通过SAS 9.0过程命令[4]，用[2]表12.9的数据得图2，其中横轴是第一因子轴，纵轴是第二因子轴，x i 为该方法的相应变量，编号为样品代码。

在B 氏方法图2中，正指标X 1、X 2、X 6坐标值是负值(第三象限)；负指标X 3坐标值是正值(第一象限)；正指标X 5、逆指标X 4坐标值有正或有负值(第二或第四象限)，即所有指标X 1-X 6失去了应有的方向和意义；名校1-哈佛大学、2-普林斯顿大学、4-斯坦福大学坐标值都是负值(第三象限)；名校3-耶鲁大学、5-麻省理工学院坐标值是负、正值(第二象限)；指标排20名之后的22-威斯康星大学、24-普度大学坐标值都是正值(第一象限)等，即很多样品失去了应有的位置特征。

(3)迄今对应分析没有模型。

因为其没有目标的数学公式。

上述第(1)种情况经常出现，第(2)种情况具有普遍性，第(3)种情况是客观存在。

为了完善和发展对应分析，重要的是要解决：问题1 如何给出对应分析更好的数据阵预处理变换？ 问题2 如何建立有旋转功能的对应分析模型及其理论？据查，上述问题的研究是空白。

这里对负指标、逆指标和适度指标进行正向化变换，根据对应分析的目的，用数学建模方法和因子分析主成分法的因子分析图，解决了上述问题。

DIMENSION 2-0.4-0.10.20.50.8DIMENSION 1-0.4-0.10.20.50.8图2 B 氏方法图DIMENSION 2-5.2-4.9-4.6-4.3-4.0-3.7-3.4-3.1-2.8-2.5-2.2-1.9-1.6-1.3-1.0-0.7-0.4-0.10.20.50.81.11.41.72.02.32.62.9DIMENSION 1-5.2-4.9-4.6-4.3-4.0-3.7-3.4-3.1-2.8-2.5-2.2-1.9-1.6-1.3-1.0-0.7-0.4-0.10.20.50.81.11.41.72.02.32.62.9图1 双重信息图[1]3二、主要结果以下解决问题1。

指标体系有正指标、负指标、逆指标和适度指标。

适度指标是指低于适度值时越大越好，高于适度值时越大越不好；另外，指标间的量纲或均值往往是不相同的。

因此，指标体系通常需要进行预处理，如有正向化变换、标准化变换等。

所谓正向化变换就是把负指标、逆指标和适度指标转化为正指标的变换。

正向化变换：负指标取负数加一常数后有正向意义；逆指标取倒数乘一常数后有正向意义[如见三(1)]；适度指标与适度值的绝对差加适度值后取倒数有正向意义。

指标体系有正指标、负指标、逆指标和适度指标时，不易明确指标的方向、样品的位置特征。

指标正向化变换后，保留了指标应有的意义、解决了指标方向一致性和指标对样品位置贡献的明确问题。

标准化变换是将指标均值化为0、方差化为1的线性变换。

正指标间的量纲或均值不同时，样品没有可比性。

正指标作标准化变换，样品有了相对比较的前提，同时能保留指标和样品的应有特征。

综上，对指标体系进行正向化、标准化变换的预处理，解决了问题1。

设A =l k ij a ⨯)(，定义矩阵范数的平方：‖A ‖2=tr (AA ′)(方开泰[3]，tr 是方阵的迹)。

为了解决问题2，按照对应分析的目的，要解决的问题是：⑴建立一个低维坐标系，⑵将原始数据中的变量和样品同时表示在该坐标系中，⑶低维坐标系降维所引起的数据变形达到最小。

用数学公式表述是：对应分析模型 设正向化、标准化p 维可观测随机向量x ),,(1'=p x x 的n 个样品数据阵为X p n ij x ⨯=)(，对合适的p m <，⑴在坐标系m F F ,,1 是x 的一个近似变换下，⑵样品X j =),,(1jp j x x 的近似坐标是j X x m F F '=),,(1 ),,(1jm j F F = ( j =1,…,n )，F n ×m m n ij F ⨯=)(，变量x i 的近似坐标是),,1)(,,(1p i l l im i =；⑶求：F ),,(1'=m F F ，L m p ij l ⨯=)(，使：‖X -F n ×m L ′‖2达到最小，这里E (F )=0，Cov (F )=I m ，Cov ( x -LF , F )= 0。

建模说明 (1)E (F )=0，Cov (F )=I m 的说明：用坐标系m F F ,,1 表示变量x 和样品X j ( j = 1,…,n )时，要求m F F ,,1 具有标准化且信息表示不重叠的功能，数学公式是：E (F )=0，Cov (F )=I m 。

(2)Cov (x -LF , F )=0的说明：在坐标系F ),,(1'=m F F 中，x i 的近似坐标是),,(1im i l l),,1(p i =，所以，⎪⎩⎪⎨⎧+++=+++=p m pm p pm m F l F l x F l F l x εε11111111， x = LF +ε，这里ε),,(1'=p εε 是误差向量，显然E (ε)=0，为了LF 、ε表示x 的信息不重复，取：Cov (ε, F )= Cov ( x -LF , F )=0（广2）。

(3)‖X -F n ×m L′‖2达到最小的说明：由建模说明(2)有：x = LF +ε，取数据阵形式有： X =F n ×m L ′+U ，‖X -F n ×m L′‖2=‖U ‖2，4其中U =p n ij ⨯)(ε，),,(1ip i εε =ε′jX x '=，所以，数据变形达到最小的数学公式是：‖X -F n ×m L ′‖2达到最小。

性质1 对应分析模型有旋转功能(证明见附录)。

性质2 对应分析模型中，数据变形与变量相关性变形达到最小等价，且 ‖X -F n ×m L ′‖2= (n -1)tr (R - LL ′) = (n -1)[tr (R )-tr ( LL ′)](证明见附录)。

设x ),,(1'=p x x 的协差阵为R p p ij r ⨯=)(, R 的特征值为p λλ,,1 ,p λλ≥≥ 1,P p p ij e ⨯=)( =(e 1,…,e p ),这里Pe i =i λe i ,PP ′=I p 。