数控机床几何误差与热误差综合建模
本文在对一台立式加工中心进行误差检测分析的基础上，应用多项式及线性拟合方法建立机床几何误差与热误差的误差综合数学模型，通过外部实时补偿系统与机床数控系统实时通信，实现误差实时补偿。

该方法能有效并经济地大幅度提高机床的加工精度。

1.．数据采集
1.1 定位误差测量
采用激光干涉仪对立式加工中心的移动轴进行定位误差的检测，如图 1 所示。

为了减少检测过程中的随机误差，每个轴的正方向、反方向分别重复检测 3 次，取测量平均值作为测量结果。

本文以机床的y 轴定位误差的测量、建模进行说明。

y 轴行程范围为400 mm，测量起点为数控机床坐标零点。

每25 mm 取一个测量点，全程共有17 个测量点。

图 1 定位误差测量
为使机床的定位误差得到综合评估，分别测量了机床不同温度状态下的定位误差与温度变化。

首先在机床冷态(即刚开机)下测量定位误差，测量后，快速移动三根运动轴使机床温度特别是丝杆和螺母的温度升高，然后再测量、再温升如此重复至机床各温度变化趋于稳定，即机床达到热平衡状态结束测量，其中温升过程从温升10～120 min 直至机床达到热稳定状态(前面温度变化较大故温升时间要短些)。

1.2 温度误差测量
在测量定位误差的同时，还要测量机床的温度，使之每一次定位误差数据对应一组温度数据。

为此，在该加工中心上共布置了9 个温度传感器，其中对y 轴热误差影响最大的测量点为y 轴丝杆螺母、y 轴丝杆座及y 轴床身，有关y 轴的温度传感器布置如图 2 所示(传感器用圆圈标出)。

(a) y 轴丝杆螺母(b) y 轴丝杆座
(c) y 轴床身
图2 y 轴温度传感器布点
在整个温升过程中，采用基于LabVIEW 的自动温度采集软件对温度场进行实时监控，并记录下常温、温升10～120 min 时的测点温度，测量结
果如图3 所示。

图 3 各定位误差测量时的温度变化表1为集合误差与热误差原始数据数据
2 误差建模
这里以 y 轴正向的建模过程为例。

图 4 为 y 轴在冷态，温度升高 10～120 min 共 7 次测得的 7 条定位误差曲线。

由图 4 可见在不同温度状态下测得的定位误差有很大的变化。

这就是为何一般补偿的效果不好的原因，即不能按一条定位误差曲线进行补偿，而应该对于不同的温度，根据不同的定位误差曲线进行补偿。

图4 y 轴全部误差曲线
再由图 4 可知，随着机床温度的升高，误差曲线形状变化不大而曲线的斜率有变化。

因此，这种误差元素可分离成如下两部分：
y =
+t εεε (1) 式中 ε--------总误差
y ε-------线性定位误差的几何部分，只与 y 轴机床坐标位置有关
t ε--------线性定位误差的热部分，与机床的温度有关
()0=t y εαδδ-
α--------对应误差曲线的一次线性拟合斜率 y δ-------机床所在位置的 y 轴机床坐标 0δ--------y 轴机床坐标零点
几何误差部分用多项式进行拟合。

热误差部分与机床上的某些热关键点温度有关，其与各条误差曲线的拟合直线斜率相关。

2.1 几何误差建模
将图 4 中的 7 条误差曲线均旋转到水平，即令一次拟合曲线斜率为 0，然后求这 7 条误差曲线的平均值，从而可得基准误差曲线，如图 5 所示。

图 5 基准误差曲线拟合
根据最小二乘理论，对所得基准误差曲线进行一元四次拟合，可得到如式(2)所示基准误差模型：
26394=0.02807-0.005450.00055 3.12310 4.710y y y y y εδδδδ--++⨯+⨯（2）
误差拟合曲线如图 5 所示。

2.2 热误差建模
对图 4 中的 7 条误差曲线分别进行一次线性拟合，可得到如式(3)所示的 7 条拟合直线。

0 2.0588-0.0509x ϕ=- 1 1.0945-0.0240x ϕ=-
2 0.2985-0.0091x ϕ=
3 1.5807+0.0035x ϕ=（3）
4 2.0276+0.0246x ϕ=
5 2.2332+0.0454x ϕ=
6 3.5934+0.0631x ϕ=
0ϕ～6ϕ为拟合直线 0～6，x 为横坐标，拟合结果如图 6 所示。

图 6 误差曲线的线性拟合
选取对热误差影响相对较大的y 轴丝杆螺母与 y 轴丝杆座作为热关键点。

为了提高热误差模型的鲁棒性，减少机床环境温度变化对模型的影响，选取丝杆螺母温度 t 的变化量s t ∆与丝杆座温度变化量r t ∆，结合表2建模得：
表2斜率与温度统计表
-0.62530.02220.0105s r t t α=+∆+∆(4)
式中s t ∆-------丝杆螺母温度变化量
s s e t t t ∆=-
s t ---------丝杆螺母温度 e t ---------环境温度
r t ∆-------丝杆座温度变化量 r r e t t t ∆=-
r t ——丝杆座温度
则热误差模型为
()0(-0.62530.02220.0105)0.9400t s r y t t εδδ=+∆+∆⨯--（5）
2.3 综合误差建模
结合上述几何误差模型和热误差模型，将式(2)、(5)代入式(1)中，得到误差的综合模型为
26394=-0.91193-0.005450.00055 3.12310 4.710(-0.62530.02220.0105)
y y y y s r t t εδδδδ--++⨯+⨯+
+∆+∆ （6）
建模结果如图 7 所示。

图7 误差综合模型的拟合效果
7 条误差曲线共有17×7=119 个误差点，将这些误差值汇总，图8 为7 条误差曲线的总体残差示意图。

其中，前17 个点是常温误差曲线的残差点，后面以此类推。

图8 残差示意图
根据总体残差示意图，找出其中最小与最大的极限值，可得到该建模方法的建模精度在[–4.27μm,7.75μm]范围内。

3 总结
该方法的特点：①考虑了机床不同温度状态下误差的全面变化而进行机床温度和误差数据的采集和分析，即以实际测量的机床误差数据为依据，分析了机床温升与误差变化之间的关系，建立了几何误差与热误差的综合数学模型，实现了主要机床误差的补偿，综合考虑了机床在温升前的冷态状态下以及在整个温升过程中直至热稳态之后的误差变化情况；②几何误差和热误差的分离和综合，即根据几何误差和热误差的不同特性进行误差分离，应用多项式拟合与线性拟合的方法分别建模再综合可得到几何与热的复合误差综合数学模型，该方法概念清晰，方便快捷，模型拟合精度高，计算量小，易于程序设计，可用于机床误差在线实时补偿。