图6.1.1 用经典滤波器从噪声中提取信号
但是，如果信号和干扰的频谱相互重叠，则经 典滤波器不能有效地滤除干扰，最大限度地恢复信 号，这时就需要现代滤波器，例如维纳滤波器、卡 尔曼滤波器、自适应滤波器等最佳滤波器。现代滤 波器是根据随机信号的一些统计特性，在某种最佳 准则下，最大限度地抑制干扰，同时最大限度地恢
(6.1.4a)
显然，p 越小, 通带波纹越小，通带逼近误差就越小； s越大, 阻带波纹越小，阻带逼近误差就越小； ωp与
ωs间距越小, 过渡带就越窄。所以低通滤波器的设计指
标完全由通带边界频率Ωp、通带最大衰减p 阻带边界 频率Ωs和阻带最小衰减s
片段常数特性： 对于选频型滤波器，一般对通带和 阻带内的幅频响应曲线形状没有具体要求，只要求其波 纹幅度小于某个常数，通常将这种要求称为“片段常数 特性”。所谓片段，是指“通带”和“阻带”，常数是 指“通带波纹幅度δ1”和“阻带波纹幅度δ2”，而通带最大
滤波器可用于波形形成、调制解调器、从噪声中 提取信号(见图6.1.1)、信号分离和信道均衡等。所以 学习滤波器的设计与实现是必不可少的。运行本书程 序集中的绘图程序fig611b.m可以清楚地观察用滤波
2． 数字滤波器的技术指标 常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数 字滤波器的频率响应函数H(ejω)用下式表示：
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
6.1 数字滤波器的基本概念 6.2 模拟滤波器的设计 6.3 用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器 6.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器 6.5 数字高通、 带通和带阻滤波器的设计 习题与上机题
6.1数字滤波器的基本概念
所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号， 通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比 例，或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。因此， 数字滤波的概念和模拟滤波相同，只是信号的形式和实 现滤波方法不同。正因为数字滤波通过数值运算实现滤 波，所以数字滤波器处理精度高、稳定、体积小、重量 轻、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器 无法实现的特信号形式上进行匹配转换，同
1 按照不同的分类方法，数字滤波器有许多种类， 但总起来可以分成两大类： 经典滤波器和现代滤波 器。经典滤波器的特点是其输入信号中有用的频率成 分和希望滤除的频率成分各占有不同的频带，通过一 个合适的选频滤波器滤除干扰，得到纯净信号，达到 滤波的目的。例如，输入信号x(t)中含有干扰，其时 域波形和频谱图分别如图6.1.1(a)、(b)所示，由图可 见，信号和干扰的频带互不重叠，可用图6.1.1(c)所 示低通滤波器滤除干扰, 得到纯信号，如图6.1.1(d)所
一般选频滤波器的技术要求由幅频特性给出，对几 种典型滤波器(如巴特沃斯滤波器)，其相频特性是确定 的，所以设计过程中，对相频特性一般不作要求。但如 果对输出波形有要求，则需要考虑相频特性的技术指标，
对于图6.1.2所示的各种理想滤波器，我们必须设 计一个因果可实现的滤波器去近似实现。另外，也要 考虑复杂性与成本问题，因此实用中通带和阻带中都 允许一定的误差容限，即通带不是完全水平的，阻带 不是绝对衰减到零。此外，按照要求，在通带与阻带 之间还应设置一定宽度的过渡带。
衰减p和阻带最小衰减s是与δ1和δ2完全等价的两个常数。
衰减一般用分贝数表示，通带内允许的最大衰减用p表示， 阻带内允许的最小衰减用s表示。对低通滤波器， p和s
分别定义为：
p
20lg
max min
| |
H H
(e j (e j
) )
| |
dB
,
0 p
(6.1.3a)
s
20 lg
max | H (e j ) | min | H (e j ) | dB
H(ejω)=|H(ejω)|ejθ(ω) 式中，|H(ejω)|称为幅频特性函数; θ(ω)称为相频特性函 数。幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分振 幅衰减情况，而相频特性反映各频率成分通过滤波器 后在时间上的延时情况。因此，即使两个滤波器幅频 特性相同，而相频特性不同，对相同的输入，滤波器 输出的信号波形也是不一样的。
图6.1.3表示低通滤波器的幅频特性，ωp和ωs分别称为 通带边界频率和阻带截止频率。通带频率范围为0≤|ω|≤ωp， 在通带中要求(1－δ1)<|H(ejω)|≤1，阻带频率范围为ωs≤|ω|≤π， 在阻带中要求|H(ejω)|≤δ2。从ωp到ωs称为过渡带，过渡带上 的频响一般是单调下降的。通常，通带内和阻带内允许的
(6.1.2)
n0
(6.1.1)式中的H(z)称为N阶IIR数字滤波器系统函数; (6.1.2)
式中的H(z)称为N－1阶FIR数字滤波器系统函数。这两种
数字滤波器的设计方法有很大区别，因此下面分成两章分
根据滤波器对信号的处理作用又将其分为选频滤 波器和其他滤波器。上述低通、高通、带通和带阻滤 波器均属于选频滤波器，其他滤波器有微分器、希尔
图6.1.2 理想低通、高通、带通和带阻滤波器幅度特性
数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应长
度分类，可以分成无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器和有限
长单位脉冲响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为：
M
bj zr
H (z) j0 N 1 ak z k k 1
(6.1.1)
N 1
H (z) h(n)z n
经典数字滤波器从滤波特性上分类，可以分成低 通、高通、带通和带阻等滤波器。它们的理想幅频特 性如图6.1.2所示。这种理想滤波器是不可能实现的， 因为它们的单位脉冲响应均是非因果且无限长的，我 们只能按照某些准则设计滤波器，使之在误差容限内 逼近理想滤波器，理想滤波器可作为逼近的标准。另 外，需要注意的是, 数字滤波器的频率响应函数H(ejω) 都是以2π为周期的，低通滤波器的通频带中心位于2π 的整数倍处，而高通滤波器的通频带中心位于π的奇数 倍处，这一点和模拟滤波器是有区别的。一般在数字 频率的主值区［－π, π］描述数字滤波器的频率响应