H（） 1 2 cos
( )
该系统的振幅、相位图如下。
3 2 1 0
|H(ej )|
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
/pi
4 2
()
0 -2 -4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
/pi
6.3
一数字滤波器的脉冲响应为 h( n) ，当 n 0 ， n N 时， h( n) 0 ，且 h( n) 为实数，

7 sin j 2 ， 相位 ( ) 3 故系统的振幅 H (e ) sin 2 d ( ) 群延迟 ( ) 3 d
因为 h( n) 长度为 7，且 h( n) 为偶对称，故为第Ⅰ类线性相位 FIR 滤波器。 (d) h( n)
1 0 n 3 0 其它n
e j , H d (e ) 0 ,
j
0 c
c
(1) 求出 h( n) 的表达式，确定 与 N 的关系。 (2) 问有几种类型，分别是属于哪一种线性相位滤波器。 (3) 若改用升余弦窗（汉宁窗）设计，求出 h( n) 的表达式。
5
解： （1）
j
性相位滤波器， H ( ) 关于 0 均有偶对称结构。题目中仅给出了 H d (e ) 在 0 ~ 上 的取值，但用傅里叶反变换求 hd ( n) 时，需要 H d (e ) 在一个周期 [ , ] 或 [0,2 ] 上的 值，因此 H d (e ) 需根据第一类、第二类线性相位滤波器的要求进行扩展，扩展结果为：
H ( z ) h( n) z n
n 0
因为
(1)
n 0
5
n
h(n) 0 ，故 z 1 为 H ( z ) 的一个零点。
为 H ( z ) 的零点，故则在它的共轭位置 0.7e
j /4
因 z 0.7e
j / 4
处一定有另一个零点。
线性相位的约束条件需要在这两个零点的倒数位置上有零点，即 是 H ( z ) 的零点。 由此，有
N H( ) 2
[h(n)WN2 h( N 1 n)WN
n 0 N 1 2 n 0
N
n
( n 1)
N 2
]
h(n)[(1)
n
(1) ( n 1) ] 0
6.4 一个具有广义线性相位的 FIR 滤波器具有如下性质： （1） h( n) 是实的，且 n 0 和 n 5 时 h( n) =0 。
0, , 2 偶对称，故 H d (e jw ) 可扩展为： e j ( ) , c c H d (e ) 0 , 0 c , c 2
6.6 用矩形窗设计一个线性相位高通滤波器
e j ( ) , H d (e ) 0 ,
j
c 0 c
(1) 求出 h( n) 的表达式，确定 与 N 的关系。
6
(2) 问有几种类型，分别是属于哪一种线性相位滤波器。 (3) 若改用升余弦窗（汉宁窗）设计，求出 h( n) 的表达式。 解：(1)因 H d (e
A (1 0.7 2 z 1 0.49 z 2 )(0.49 0.7 2 z 1 z 2 )(1 z 1 ) 0.49 1 因为 h( n) H (e j )e j n d ， 2 h(0) H (e j )d 2
由条件
3
H (e j ) e jn
n 0
1 e j 4 sin 2 j e 1 e j sin 2 sin 2 sin
3 2
故 系 统 的 振 幅
H ( e j )

2
， 相 位
( ) ， 群 延 迟
3 2
d ( ) 3 ( ) d 2
其系统的频率响应为
H (e j )

n


h(n)e j n e j n
n 0 j n
2
1 e j 3 sin(3 / 2) e j j 1 e sin( / 2)
H (e )
j
n
h(n)e
2 n 0
e
nk N
( N 1 n ) k h( N 1 n)W N
nk N
( n 1) k h( N 1 n)W N ]
当 N 为奇数时：若 h( n) h( N 1 n) ，则 h(
N 1 N 1 ) h( )0 2 2
故
H (k )
h(n)WNnk
j
) 只给出了 0 ~ 之间半个周期的表达式，因此需要扩展。因设计的是线 N 1 2
j ( )
性相位滤波器，故令
(a)当 N 为奇数时， 为整数，此时 e 即
e j e j
e j ( ) (1) e j
故此时由 P125 表 3-1 可知，要设计的滤波器属第一类线性相位滤波器， H ( w) 关于
h(n) hd (n) R N (n)
(2) 有 2 种类型，分别为第一类和第二类线性相位滤波器。 (3) 若改用升余弦窗（汉宁窗）设计，则
h(n) hd (n) w(n)
sin[c (n )] 1 1 2 n { cos( )}RN (n) (n ) 2 2 N 1
( ) 2

(c)
1 0 n 6 h( n) 0 其它n H ( e j )
n
h ( n )e

jn
e jn
n 0
6
1 e j 7 1 e j
7 sin( ) 2 e j 3 sin( ) 2
4
（2）
(1)
n 0
5
n
h( n) 0
j / 4
。
（3）在 z 0.7e （4）
处 H ( z ) 等于零。 。
5
H (e


j
)d 4
试求该滤波器的 H ( z ) 。 解：因为 n 0 和 n 5 时 h( n) 0 ，且 h( n) 是实值，有
1 j /4 1 j /4 ， e e 也 0.7 0.7
H ( z ) A(1 0.7e j /4 z 1 )(1 0.7e j /4 z 1 )(1
1 j /4 1 1 e z )(1 0.7e j /4 z 1 )(1 z 1 ) 0.7 0.7
n 0
2
j n
1 e j 3 sin(3 / 2) e j j 1 e sin( / 2)
或
H (e j ) e j n 1 e j e j 2 e j (e j 1 e j ) e j (1 2 cos )
j j 3
e
j
3 2
3 3 j 2 j sin 2 sin( )e 2 2
3 j 2 2
故系统的振幅
H (e j ) 2 sin 3 2
3 2
相位
2 d ( ) 3 群延迟 ( ) d 2
因 h( n) 长度 N 4 ，且 h( n) 为奇对称，故为第Ⅳ类线性相位 FIR 滤波器。 (b) h( n) ( n) ( n 4)
N ) 0。 2
h(n)W
n 0
N 1
nk N
3
当 N 为偶数时： H ( k )
N 1 2
h(n)W
n 0
N 1 2 n 0
N 1 2
nk N

h(n)W
n N 2
N 1
nk N
H (k )
[h(n)W
n 0
n 0 N 1 2
h(n)W
H (e


j
)d 4 ，可知 h(0) 2 ，故该滤波器的系统函数如下。
H ( z)
2 (1 0.7 2 z 1 0.49 z 2 )(0.49 0.7 2 z 1 z 2 )(1 z 1 ) 0.49
6.5 用矩形窗设计一个线性相位低通滤波器
( )

H ( z ) 1 z 4 H (e j ) 1 e j 4 2 sin 2e
故系统的振幅 H (e
j j 2 j

2
) 2 sin 2
1
相位
2 d ( ) 群延迟 ( ) 2 d
因 h( n) 长度 N 5 ，且 h( n) 为奇对称，故为第Ⅲ类线性相位 FIR 滤波器。
∴ 当 h( n) h( N 1 n) 时，若 N 为偶数
H (0)
若 N 为奇数，
[h(n) h( N 1 n)] 0
H (0)
[h(n) h( N 1 n)] 0
n 0 N 1 2
N 3 2
即当 h( n) h( N 1 n) 时有 H (0) 0 （2） N 为偶数， h( n) h( N 1 n)
n 0
N 1 2

h(n)W
n 0 N 3 2 n 0
N 1 2
nk N
( N 1 n ) k h( N 1 n)W N n 0
N 1 2 N 3 2 n
h(n)W
N 1
nk N