在导出黎曼问题的弱解概念时，在欧拉方程两边同时乘以任意函数再积分转化为一等价的“弱”形式的方程时用到了二重积分的分部积分方法，其实就是格林公式。

一般意义下的分部积分公式：
uv dx
uv vu dx ''=-⎰⎰
或udv uv vdv =-⎰⎰
证明：
分部积分实际上是把普通积分公式f dx f '=⎰中的被积函数f 换成了两个函数的乘积，故可称之为一维情况下的分部积分；
把普通积分公式运用到二维情况，其实就得到了格林公式，格林公式实现了把面积分转换成了线积分（降次）。

格林公式：
F
dxdy Fdy x
Ω
∂Ω
∂=∂⎰⎰
⎰
F
dxdy Fdx y Ω
∂Ω
∂=-∂⎰⎰
⎰ 一般合并写为D L
Q P dxdy Pdx Qdy x
y ⎛⎫
∂∂-=
+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰
证明（以第一个公式为例）：
积分域为{}(x,y)|a(y)x b(y),c y d Ω=≤≤≤≤， 如图：
则：
(y)(y)
(y)(y)
(x,y)((y),y)
((y),y)d b c a d x b x a c
d
d
c c
F
dxdy x
F
dxdy x
F dy
F b dy F a dy
Fdy
Ω
==∂Ω
∂∂∂=
∂==-
=
⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
类似地，把格林公式中的被积函数换成两个函数的乘积，则导出二维情况下
的分部积分。

二重积分的分部积分公式：
()g
f
f
dxdy fg dy g
dxdy x
x Ω
∂Ω
Ω
∂∂=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ ()g
f
f
dxdy fg dx g
dxdy y y
Ω
∂Ω
Ω
∂∂=--∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 证明（以第一个公式为例）： 在F
dxdy Fdy x
Ω
∂Ω
∂=∂⎰⎰
⎰中，把F 换为fg ，则： ()
()fg dxdy fg dy x
Ω
∂Ω
∂=∂⎰⎰
⎰，
即()()g f f
g dxdy fg dy x x Ω
∂Ω
∂∂+=∂∂⎰⎰⎰ 即()g
f
f
dxdy fg dy g
dxdy x
x
Ω
∂Ω
Ω
∂∂=-
∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 综上：
把普通积分公式中的被积函数换成两个函数的乘积，则导出了一维分部积分公式；
把格林公式中的被积函数换成两个函数的乘积，则导出了二维分部积分公式。

且两种分部积分公式在形式上是很相似的：
uv dx uv vu dx ''=-⎰⎰ 对比 ()g
f
f
dxdy fg dy g
dxdy x
x
Ω
∂Ω
Ω
∂∂=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰
北航 曾元圆。