曲线积分与格林公式学习总结王德才201121102340电子商务1133班一、 曲线积分1定义：设L 为xOy 平面上的一条光滑的简单曲线弧,f(x,y)在L 上有界，在L 上任意插入一点列M1,M2,M3…,Mn 把L 分成 n 个小弧段ΔLi 的长度为ds ，又Mi(x,y)是L 上的任一点，作乘积f(x,y)i*ds,并求和即Σ f(x,y)i*ds ，记λ=max(ds) ，若Σ f(x,y)i*ds 的极限在当λ→0的时候存在，且极限值与L 的分法及Mi 在L 的取法无关，则称极限值为f(x,y)在L 上对弧长的曲线积分，记为：∫f(x,y)*ds ；其中f(x,y)叫做被积函数，L 叫做积分曲线，对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。
2、对弧长的曲线积分：s z y x f d ),,(⎰Γ为第一类曲线积分，其中Γ为曲线，被积函数),,(z y x f 中的点),,(z y x 位于曲线Γ上，即),,(z y x 必须满足Γ对应的方程，222dz dy dx ds ++=是弧微分、弧长元素。
若Γ是封闭曲线，则第一类曲线积分记为s z y x f d ),,(⎰Γ（1）第一类曲线积分的应用： 1）、曲线Γ的长s=s d ⎰Γ2）、若空间曲线形物体的线密度为),,(z y x f ，Γ∈),,(z y x ，则其质量M ds z y x f ),,(⎰Γ=;质心坐标为),,(z y x ，其中Mds z y x zf z Mds z y x yf y Mds z y x xf x ),,(,),,(,),,(⎰⎰⎰ΓΓΓ===;对x 轴的转动惯量ds z y x f z y Ix ),,()(22+=⎰Γ（2）第一类曲线积分的计算方法：若空间曲线Γ参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，βα≤≤t ，则dt t z t y t x ds 222)]('[)]('[)]('[++=，s z y x f d ),,(⎰Γ=⎰βα))(),(),((t z t y t x f t t z t y t x d )]('[)]('[)]('[222++。
例1 计算⎰Γds z y x )(222++，其中Γ：t x cos =，t y sin =，t z =，π20≤≤t解 因为222z y x ++=222sin cos t t t ++=21t +，dt dt t t ds 21)(cos )sin (22=++-=, 所以⎰Γds z y x )(222++)382(22)1(3220πππ+=+=⎰dt t3第一类曲线积分（1）公式：=应用前提:1）曲线L 光滑,方程可以写成为:2）函数在L 上有定义，且连续。
公式变形：若L 为平面曲线，L 方程为，则公式可以写成为：(2)常用计算法：1)对于曲线L 可以写成为参数形式的，可直接套用公式． 2）对于平面曲线，可以用公式的变形．3）计算中，根据图形特点，直接将ds 化为dx,dy 或dz ．如： ,其中：ds=P(x,y,z)dx ,x4）当Ｌ是简单的折线段时，可以将Ｌ分为几个连续线段的和，然后分别求积分，再求和。
（注意：由于折线段不连续，所以这种情况下不能对Ｌ直接套用公式，否则，公式中的将有无意义的点．4、对坐标的曲线积分：⎰Γ++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(为第二类曲线积分，其中Γ是一条定向曲线，)),,(),,,(),,,((z y x R z y x Q z y x P F =为向量值函数，=r d ),,(dz dy dx 为定向弧长元素（有向曲线元）若曲线Γ的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，则切向量))('),('),('(t z t y t x =τ ，单位切向量)cos ,cos ,(cos γβατ=e弧长元素ds =dt t z t y t x 222)(')(')('++定向弧长元素=r d),,(dz dy dx =))(',)(',)('(dt t z dt t y dt t x dt t z t y t x ))('),('),('(=ds t z t y t x t z t z t y t x t y t z t y t x t x ))(')(')(')(,)(')(')(')(',)(')(')(')('(222222222++'++++==ds e ds τγβα=)cos ,cos ,(cos⎰Γ++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(=∙⎰ΓF r d =∙⎰ΓF ds e τ=ds z y x R z y x Q z y x P ⎰Γ++]cos ),,(cos ),,(cos ),,([γβα=ds t z t y t x t z z y x R t y z y x Q t x z y x P ⎰Γ++'+'+'222)(')(')(')(),,()(),,()(),,(上面的等式表明第二类曲线积分可以化为为第一类曲线积分。
例 1 把第二类曲线积分⎰Γ++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(化成第一类曲线积分，其中Γ为从点)0,0,0(到点)1,22,22(的直线段。
解 方向向量=τ)1,22,22(，其方向余弦22cos ,21cos ,21cos ===γβα， 原式=ds z y x R z y x Q z y x P ⎰Γ++]cos ),,(cos ),,(cos ),,([γβα=ds z y x R z y x Q z y x P ⎰Γ++2),,(2),,(),,(。
5、第二类曲线积分的应用：（1）若一质点从点A 沿光滑曲线（或分断光滑曲线）Γ移动到点B ，在移动过程中，这质点受到力k z y x R j z y x Q i z y x P F),,(),,(),,(++=，则该力所作的功W=∙⎰ΓF r d=⎰Γ++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(（2）第二类曲线积分的计算方法：1）若空间定向曲线Γ的参数方程b a t t z z t y y t x x →⎪⎩⎪⎨⎧===:)()()(，则⎰Γ++dz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(=⎰++ba dt t z t z t y t x R t y t z t y t x Q t x t z t y t x P )]('))(),(),(()('))(),(),(()('))(),(),(([2）若平面定向曲线L 的参数方程：b a t t y y t x x →⎩⎨⎧==:)()(，则⎰+L dy y x Q dx y x P ),(),(=⎰+badt t y t y t x Q t x t y t x P )]('))(),(()('))(),(([例 1 计算⎰Γ-+ydz zdy dx x 2，其中Γ为曲线θθθsin ,cos ,a z a y k x ===上从0=θ到πθ=的一段弧。
解 ⎰Γ-+ydz zdy dx x 2=θθθθπd a a k ]cos sin [0222223⎰--=ππ2333a k -。
6两类曲线积分的联系设曲线上以(t,x),(t,y),(t,z)表示正向切线t 与三正向坐标系的夹角.于是,,,据二类曲线计算公式:;由一类曲线推导得:由曲线方程对称性的公式如下:对于平面时,公式可化为:平面上,设n 为法方向,t 为切向,则cos(t,x)=cos(n,y),cos(t,y)=-cos(n,x)于是:二、格林公式1格林(Green)公式是指出了沿闭曲线的第二型曲线积分与二重积分的关系.下面我们来规定L 的正向:设区域D 是由一条或几条光滑曲线所围成.边界曲线L 的正向规定为:当人沿着L 行走时,区域D 总在他的左边.若与L 的正向相反,就称为负方向.记作–L.定理1 设闭区域D 由分段光滑的闭曲线L 围成,函数),(y x P ,),(y x Q 在D 上具有一阶连续偏导数,则⎰+L Qdy Pdx =⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D dxdy y P x Q (1)其中左端的闭曲线积分是沿边界曲线L 的正方向.公式(1)称为格林公式.证:(i)首先我们证明一个特殊情况:D 既可表示为X-型区域,也可表示为Y-型区域.由D 可表示为X 型区域,不妨设D={(x,y) : a ≤x ≤b, )(1x ϕ≤y ≤)(2x ϕ} (如图)则 ⎰⎰∂∂Ddxdy y P=⎰b a dx dy yy x P x x ⎰∂∂)()(21),(ϕϕ=⎰-badx x x P x x P )]}(,[)](,[{12ϕϕ又 ⎰LPdx =⎰1L Pdx +⎰2L Pdx =⎰badx x x P )](,[1ϕ +⎰badx x x P )](,[2ϕ=⎰--badx x x P x x P )]}(,[)](,[{12ϕϕ因此有 ⎰L Pdx =⎰⎰∂∂-Ddxdy y P同理,D 可表示为Y-型区域,不难证明:⎰LQdy =⎰⎰∂∂Ddxdy xQ将上面两式相加得⎰+L Qdy Pdx =⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D dxdy y P x Q .(ii)对于一般的区域D,即如果闭区域Ｄ不满足上述条件(既可表示为X-型区域,也可表示为Y-型区域),则可以在D 内引进若干条辅助线把D 分成有限个部分闭区域,使每个部分满足上述条件.在每快小区域上分别运用Ｇreen 公式,然后相加即成.如图中D 的边界曲线L,通过作辅助线AE 将L 分为L 1,L 2,同时将区域D 分为D 1,D 2,它们都满足上述条件,于是⎰→++EAL QdyPdx 1=⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂1D dxdyy P x Q ,⎰→++AE L Qdy Pdx 2=⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂D dxdy y P x Q 上面两式相加,并注意到⎰→+EAL 1=⎰1L +⎰→EA,⎰→+AEL 2=⎰2L +⎰→AE,⎰→AE=⎰→-EA.又L=L 1+L 2, D= D 1+D 2, 于是⎰+L Qdy Pdx =⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂D dxdy y P x Q .注:在Ｇreen 公式中,当x Q =, y P -=时,有yPx Q ∂∂-∂∂=1–(–1)=2, 代入公式,得 ⎰+-Lxdy ydx = ⎰⎰Ddxdy 2=A 2 (其中A 为D 的面积)于是 ⎰-=L ydx xdy A 21. (2)[例5] 计算椭圆12222=+by a x 围成的面积.解: 椭圆的参数方程为 t a x cos =, t a y sin =, π20≤≤t . 由式(2) , 得 A=⎰--π20)]sin (sin sin .cos [dt t a t b t b t a=⎰+π2022)sin (cos 2dt t t ab =ab π. 三、平面曲线积分与路径无关的条件1、第二型曲线积分当积分路径起点,终点固定时,它的数值一般与积分曲线有关.如:⎰-++Ldy x y dx y x )()(中,当L 的端点固定在(1,1)点和(4,2)点时,若L 取不同的路径,所得到的积分值不一样.这说明积分值与所取的积分路径有关.然而,存在着另一种情况,即积分值与积分路径无关,只与起点和终点有关.亦即对任意两条以A 为起点,B 为终点的曲线1L 和2L ,有⎰+1L Qdy Pdx =⎰+2L Qdy Pdx .定理: 设Ｇ是一个单连通的开区域,函数),(y x P ,),(y x Q 在Ｇ内具有一阶连续偏导数,则下述命题是等价的 1)yPx Q ∂∂=∂∂在D 内恒成立; 2) 0=+⎰LQdy Pdx 对G 内任意闭曲线L 成立;3)⎰+LQdy Pdx 在G 内与积分路径无关;4) 存在可微函数),(y x u u =,使得Qdy Pdx du +=在G 内恒成立. 证 1)⇒2). 已知yPx Q ∂∂=∂∂在G 内恒成立,对G 内任意闭曲线L,设其所包围的闭区域为D,由格林公式=+⎰LQdy Pdx ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D dxdy y P x Q 00==⎰⎰D dxdy2) ⇒3).已知对G 内任一条闭曲线L,0=+⎰LQdy Pdx . 对G 内任意两点A 和B,设1L 和2L 是G 内从点A 到点B 的任意两条曲线(如图),则-+=21L L L 是G 内一条封闭曲线,从而有⎰+=LQdy Pdx 0=⎰+1L Qdy Pdx +⎰-+2L Qdy Pdx 。