L P dx Q dy 0;
(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分
L Pdx Q dy
与路线无关, 只与 L 的起点及终点有关;
(iii) P dx Qdy 是 D 内某一函数 u( x , y) 的全微分, 即在 D 内有 du P dx Qdy;
u( x, y) P dx Q dy . AB
(iv)
在 D 内处处成立
P
Q .
y x
有关定理的说明：
(1) 开区域G 是一个单连通域.
(2) 函数 P( x, y), Q( x, y)在G 内具有一阶连
续偏导数.
两条件缺一不可
(i) 沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L, 有
L P dx Q dy 0;
(ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分
( )dxdy
D x y
x D1 D2 D3 y
D1
(
Q x
P y
)dxdy
D2
(
Q x
P y
)dxdy
D3
(
Q x
P y
)dxdy
L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy L3 Pdx Qdy
L Pdx Qdy
L3 D3
D1
(L1, L2 , L3对D来说为正方向) L1
D2 L2
M
曲线AMO 由函数
A(a,0) N
y ax x, x [0,a]表示,
A
1 2
L
xdy
ydx
1
2 ONA
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ydx
1
2 AMO
xdy
ydx
10
2 a x(2
a ax
1)dx
(
ax x)dx
aa
4 0
xdx 1 a2 . 6
二、曲线积分与路径无关性
如果在区域G内有
者沿边界行走时,区域D总
在他的左边.
D
与上述规定的方向相反的方向称 为负方向,记为 L .
图 21 12
定理1 设闭区域 D由分段光滑的曲线L 围
成,函数 P( x, y)及Q( x, y)在 D上具有一阶连
续偏导数, 则有
D
( Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
(1)
其中 L是 D的取正向的边界曲线,
AB D
4
例3
计算 L
xdy x2
ydx y2
,其中
L为任一不包含原
点的闭区域的边界线, L的方向为逆时针方向.
解 记L所围成的闭区域为D ,
令P
y x2 y2
,
Q
x2
x
y2
,
y L
D
由于 x2 y2 0,
o
x
故有Q x
y2 x2 ( x2 y2 )2
P .
y
由格林公式知
L
xdy x2
ydx y2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
3. 计算平面面积
格林公式:
Q P
D
(
x
y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
取P y, Q x, 得 2 dxdy L xdy ydx
D
闭区域D 的面积
A
1 2
L
xdy
ydx
.
例 4 计算抛物线( x y)2 ax(a 0)与x 轴所
围成的面积.
解 ONA为直线 y 0.
Q dxdy
d
dy
2 ( y) Qdx
D x
c
1 ( y) x
d
d
c Q( 2( y), y)dy c Q( 1( y), y)dy
y
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
CBE
CAE
d
x 1( y)
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
CBE
EAC
A
c
LQ( x, y)dy
L P dx Q dy
与路线无关, 只与 L 的起点及终点有关;
A
证 (i) (ii) 如图 21-19, 设 ARB
公式(1)叫做格林公式.
证明(1)
若区域 D既是 X 型又 是Y 型,即平行于坐标 轴的直线和 L至多交于
两点.
y
d x 1( y)
A c oa
E y 2(x)
D
B
x 2( y) Cy 1(x)
bx
D {( x, y)1( x) y 2( x),a x b}
D {( x, y)1( y) x 2( y),c y d }
y
Pdx Qdy L1
Pdx Qdy L2
L1 B
G
A
L2
o
x
则称曲线积分L Pdx Qdy在G 内与路径无关,
否则与路径有关.
区域连通性的分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区 域, 否则称为复连通区域.
D D
单连通区域
复连通区域
定理21.12 设 D 是单连通闭区域. 若函数 P( x , y), Q( x , y) 在 D 内连续, 且具有一阶连续偏导数, 则以 下四个条件两两等价: (i) 沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L, 有
( )(Pdx Qdy)
L2
L3
L1
Pdx Qdy L
(L1,L2 , L3对D来说为正方向)
格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与
二重积分之间的联系.
便于记忆形式:
x ydxdy L Pdx Qdy.
DP Q
应用
1. 简化曲线积分
y
A
例 1 计算 xdy ,其中曲 AB
L
证明(3)
若区域不止由一条闭曲线所
围成.添加直线段 AB,CE.则
D的边界曲线由 AB, L2,BA,
AFC,CE, L3, EC 及 CGA 构成.
由(2)知
D
(
Q x
P y
)dxdy
G D L2 B
L3
E C
F
L1
A
{ } (Pdx Qdy) AB L2 BA AFC CE L3 EC CGA
o
同理可证
D
P y
dxdy
L
P(
x,
y)dx
E DB
C
x 2( y)
x
两式相加得
D
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
证明(2)
L3 D3
D2 L2
若区域D 由按段光
D
滑的闭曲线围成.如图,
D1
L1
L
将D 分成三个既是X 型又是
Y 型的区域D1,D2 ,D3 .
Q P
Q P
( )dxdy
§3 格林公式·曲线积分 与路线的无关性
在计算定积分时, 牛顿-莱布尼茨公式反映 了区间上的定积分与其端点上的原函数值之 间的联系; 本节中的格林公式则反映了平面 区域上的二重积分与其边界上的第二型曲线 积分之间的联系.
一、格林公式
二、曲线积分与路线的无关性
返回
一、格林公式
L
边界曲线L的正向: 当观察
线 AB是半径为r 的圆在
D
第一象限部分.
oL
Bx
解 引入辅助曲线 L, L OA AB BO
应用格林公式, P 0, Q x 有
dxdy L xdy
D
OA xdy AB xdy BO xdy,
由于 OA
xdy
0,
BO xdy 0,
xdy dxdy 1 r2.