典型例题（二）方阵可逆的判定例1 设A 是n 阶方阵, 试证下列各式：（1）若, 则；（2）若A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 则； （3）； （4）若, 则； （5）； （6）若, 则（l 为自然数）； （7）. 证 （1）因为, 故A 是可逆矩阵, 且两边同时取转置可得故由可逆矩阵的定义可知是A T 的逆矩阵. 即（2）利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有（2-7）另一方面（2-8）比较式（2-7）、（2-8）可知又因为A 、B 均可逆, 所以(AB )也可逆, 对上式两端右乘可得（3）设n 阶方阵A 为于是可得A 的伴随矩阵为注意到A 的转置矩阵为0||≠A T T A A )()(11--=***)(A B AB =TT A A )()(**=0||≠A *11*)()(--=A A *1*)1()(A A n --=-0||≠A l l A A )()(11--=*1*)(A k kA n -=0||≠A E AA =-1E E A A AA T T T T ===--)()()(11T A )(1-11)()(--=T T A A E AB AB AB ||)()(*=B I A B B A A B AB A B )|(|)())((*****==E AB E B A B B A |||| ||||*===))(()()(***AB A B AB AB =1)(-AB ***)(A B AB =⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211*A ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n A A A A A A A A A A 212221212111*可推出的伴随矩阵为比较与可知（4）因为, 故A 可逆, A 的逆矩阵为, 并且由可知由于, 可逆且可得另一方面, 由由矩阵可逆的定义知, 可逆, 并且（5）对于（3）给出的矩阵A , 有即的代数余子式为故⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn nnn n T a a a a a a a a a A 212221212111TA ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n T A A A A A A A A A A212222111211*)(*A *)(T A **)()(T T A A =0||≠A 1-A E A A A ||*=1*||-=A A A 0||≠A 1-A E A A A ||)(1*11---=AA A ||1)(*1=-E A A A A A A ==--||1||)(1*1**A *11*)()(--=A A ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=-nn n n n n a a a a a a a a a A212222111211ij a -nnnj nj n n i j i j i i n i j i j i i n j j ji a a a a a a a a a a a a a a a a ----------------+-+++-++-+----+-+111111111111111111111111)1(), ,2 ,1,( )1(1n j i A ij n =-=-（6）因为, 故A 可逆, 并且（7）对于（3）给出的矩阵A , 有类似于（5）可知的代数余子式为, 故例2 设A 是n 阶非零矩阵, 并且A 的伴随矩阵满足, 证明A 是可逆矩阵. 证 根据矩阵A 与其对应的伴随矩阵的关系式, 有反证, 假设A 不可逆, 故有, 由上式及条件, 有（2-6）设矩阵A 为由式（2-6）可知比较上式两边矩阵对角线上的元素有故*1121112122112111211111*)1()1()1()1()1()1()1()1()1()1()(AA A A A A A A A A A n nn n n n n n n n n n n n n n -----------=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=- 0||≠A l l A A A A A AA A )()()(111111------=== ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA 212222111111ij ka ijn A k 1-*A TA A =*E A A A AA ||**==0||=A TA A =*O AA AA T ==*⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n nn n n n n T a a a a a a a a a a a a a a a a a a AA 212221212111212222111211O a a a a a a a a a a a a a a a n i ni n i i ni n i i ni n i ni i n i i n i i i ni ni i n i i i n i i =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========1212111212211211121121 ), ,2 ,1( 012n j ani ji==∑=), ,2 ,1( 021n j a a a jnj j =====l 个 l 个因此有A = O , 与A 是n 阶非零矩阵矛盾, 故A 是可逆矩阵. 例3 设A 、B 都是n 阶可逆矩阵, 证明：的充要条件是证 必要性：因为因此即充分性：因为, 故. 例4 设A 是一个n 阶方阵, n 为奇数, 且, 证明不可逆.证 因为, 故因此有所以故是不可逆矩阵.例5 设A 是n 阶方阵且对某个正整数k 满足, 证明是可逆矩阵, 并求.证 由于故对于方阵A 的多项式, 仍有注意到, 故有 因此可逆, 并且例6 设A 是阶方阵,是A 的伴随矩阵的伴随矩阵, 证明：（1）；（2）.证 （1）利用矩阵A 与矩阵A 的伴随矩阵的关系, 有即从而有对两边取行列式, 有若A 可逆, , 故, 于是有111)(---=B A AB BA AB =1111)()(----==BA B A AB )())(()())((11BA BA AB BA AB AB --=BA AB =BA AB =1111)()(----==B A BA AB 1,1||-==A A A T )(A I -1-=A A T E AA AA T ==-1|)(|||||E A A A AA A E T T -=-=-|||)(| ||E A E A A T-=-=||||)1(A E A E n--=--=0||=-A E A E -O A k=A E -1)(--A E )1)(1(112-++++-=-k k x x x x x ))((12-++++-=-k k A A A E A E A E O A k=E A A A E A E k =++++--))((12 )(A E -121)(--++++=-k A A A E A E )2(>n n **)(A *A A A A n 2**||)(-=2)1(**|||)(|-=n A A E A AA ||*=E A A A ||)(****=A A A A A A A A AA ||])([)(||)(*********===E A AA ||*=n A E A A A AA ||||||||||||**===0||≠A 1*||||-=n A A若A 不可逆, 则, 的秩小于或等于1, 故, 仍有 （2）对两边取行列式, 有若A 可逆, 所以, 从而有, 于是可知 若A 不可逆, 则例7 设A 、B 是同阶方阵, 已知B 是可逆矩阵, 且满足, 证明A 和都是可逆矩阵, 并求它们的逆矩阵.证 因为, 由于所以,因而有 可逆.由可知由可知.例8 设A 、B 均是n 阶方阵, 且可逆, 则也可逆, 并且证 考察两个矩阵的乘积因此可逆, 并且例9 设n 阶矩阵A 、B 和均可逆, 证明：（1）也可逆, 且（2）证 （1）因为两边取行列式有因为 A 、B 、可逆, 故所以有故 是可逆矩阵.AA A A A A n 2***||||)(-==0||=A *A 0)(**=A A A A n 2**||)(-=E A A A ****||)(=n A E A A A A A |||||||)(||||)(|********===0||≠A 0||||1*≠=-n A A 2)1(111***||)|(||||)(|----===n n n n A A A A 2)1(**||0|)(|-==n A A O B AB A =++22B A +22)(B B A A AB A -=+=+0||)1(|||||||)(|22≠-=-=+=+B B B A A B A A n 0||≠A 0||≠+B A B A A +,E B A A B =+--)()(12A B B A 121)()(---=+E B B A A =+--12))((121))((--+-=B B A A AB E +BA E +A AB E B E BA E 11)()(--+-=+A AB E BAB A AB E B BA E A AB E B E BA E 111)()())()((---+-+-+=+-+])()[(11A AB E AB A AB E B BA E --+++-+=A AB E AB E B BA E 1))((-++-+=E BA BA E =-+=)(BA E +A AB E B E BA E 11)()(--+-=+B A +11--+B A A B A B B B A A B A 11111)()()(-----+=+=+1111111111111)()()(-------------+-=+-=+B B A B B A B A A A B A 1)()(1111111-+=+=+-------BB A A BB B A A A B A ||||||||1111----+=+B B A A B A B A +0||1≠-A 0||1≠-B 0||≠+B A 0||11≠+--B A 11--+B A B B A A B E B B A A B A 11111))((])()[(-----++=++111)]()[(---++=B A B A B E故同理可证 .（2）因为故同理可证.E A B E A B E =++=---111))((B B A A B A 1111)()(----+=+A B A B B A 1111)()(----+=+])()[(])()[(1111111111----------+-+=+-+BA B A A A A B A A B A A A B A 11])()[(--+-+=A B B A I B A I AA A B B A ==-+=--11)(1111111)()(-------+-=+A B A A A B A 1111111)()(-------+-=+B B A B B B A。