第4章 插值法与最小二乘拟合
科学实验，统计分析，获得大量数据
xi x0 x1 x2 yi y0 y1 y2
xn
(n很大)
yn
确定y与x之间的近似表达式
方法一 插值。几何上，插值曲线经过所有点
方法二 曲线拟合。求一连续曲线y ( x), 使得
n
误差Q
[ ( xi )
i0
yi
]2达到最小或Q＝max 0 i n
y1
a0
a1 xn
a
2
x
2 n
an
x
n n
yn
x0 x0n
1
x1
x1n
x0
xn
x
n n
x
n 0
11
x1
xn
(x j
0i jn
xi ) 0
x1n
x
n n
4
结论 给定n+1个互异节点x0,x1,…,xn上的函数值y0,y1,…,yn,则满足插值条件(4.2)的n次插值多项式Pn(x)是存在且唯一的.
f (n (n
1) ( )
1)!
n
1
(
x
)
6
注意
Rn (x)
f ( x) Pn ( x)
f (
(n1) ( )
n 1) !
n
1
(
x),
• 余项表达式仅当 存在时才能应f (用n，1) (且x是) 唯一的。
• 在( a , b ) 内的具体位置通常不能给出。
• 若有
max
a xb
f,则(n截1断)(误x差) 限是Mn1
(4.2)
称y=(x)为被插值函数; 称P(x)为插值函数; 称x0,x1 ,…,xn为插值节点; 称式(4.2)为插值条件; 寻求插值函数P(x)的 方法称为插值方法.
在构造插值函数时, 函数类P的不同选取, 对应不同的插值方法, 这里主要讨论函数类P是代数多项式,即所谓的多项式插值.
2
x
y = f (x)
节点上的线性 插值基函数：
lk(x)
x xk1 xk xk1
,
l k1( x)
3
用Pn表示所有次数不超过n的多项式函数类,若Pn(x) Pn ,则 Pn(x)=a0+a1x+…+anxn
其系数行列式为
1 1 D 1
是由n+1个系数唯一确定的.若Pn(x)满足插值条件(4.2),
则有
a0
a1 x0
a
2
x
2 0
an
x
n 0
y0
a
0
a1 x1 a2 x12 an x1n
n
1
(
x)
(4.4)
其中(a,b)且与x有关.
n1 ( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn )
分析：
要证 Rn (x)
f ( x) Pn ( x)
f (n1) ( )
(n 1) !
n1( x), 其中
(a, b).
因 为 (a, b)不 确 定 ，用Rolle定 理, 且 采 用 构 造 法 。
求线性插值
L1 ( xk ) yk , L1 ( xk1 ) yk1 .
L1( x )
yk
yk 1 yk xk 1 xk
( x xk )
或
L1( x)
x xk1 xk xk1
yk
x xk xk1 xk
yk 1
线性函数
lk(x)
x xk1 xk xk1
,
l k1( x)
x xk xk1 xk
若f(x)为次数不高于n次的多项式,
则f(n+1)(ξ) =0,
从而Rn(x)=0.
7
4.1.3 拉格朗日(Lagrange)插值
一、线性插值与抛物线插值
1、线性插值(n =1)
设已知区间[ xk , xk+1]端点处的函数 值yk= f (xk)，yk+1 = f (xk+1)，
多项式L1(x ) ，使其满足
x y = L1(x)
0
xk
xyk+1
点y(xk , Lyk)1的(与x几()x何k+意1, 义yk—+1)—的过直两线
L1(x)是两个线性函数的线性 组合
称为节点上线性插值基函数
L1( x) yk l k ( x) yk 1 lk 1( x) (4. 8)
8
L1( x) yk l k ( x) yk 1 lk 1( x) (4. 8)
4.1.2 插值多项式的截断误差
定理 设(n)(x)在[a,b]连续, (n+1)(x)在(a,b)内存在,在节点a x0<x1<…<xn b上, 满足插值条件(4.2)的插值多项式Pn(x),对 任一x[a,b],插值余项为
Rn (x)
f ( x) Pn ( x)
f (n (n
1) ( )
1)!
5
证 由于Rn(xi) = (xi)-Pn(xi) =0 (i=0,1,…,n), 所以设
Rn(x)=K(x)n+1(x)
对于任一x[a,b],x xi(i=0,1,2,…,n),构造函数 (t)=f(t)-Pn(t)-K(x)n+1(t)
则有
(xi)=0 (i=0,1,2,…,n), (x)=0
•
(xi, yi)
多项式插值,从几何上看就是要求过n+1个点(xk ,yk) (k=0,1,…,n)的 n次代数曲线y=Pn(x)作为(x)的近似.
0
a=x0 x1 x2 x3
y
xn=b
y = p(x)
曲线 P ( x) 近似 f ( x)
研究问题：
（1）满足插值条件的P ( x) 是否存在唯一？ （2）若满足插值条件的P(x) 存在，如何构造P ( x)？ （3）如何估计用P (x)近似替代 f ( x) 产生的误差？ （4）P (x)是否收敛于 f ( x) ？
即,(t)在[a,b]至少有由n+R2o个lle零定点理.可知(t)在[a,b]至少有n+1个零点,
反复应用Rolle定理知(n+1)(t)在[a,b]至少有1个零点,
于是
0=(n+1)()=(n+1)()
因而有
K ( x) f (n1) ( ) ,
(n 1)!
-K(x) (n+1)!
所以
Rn (x)
Rn( x)
Байду номын сангаас
M n1 (n 1)!
n 1(
x
)
.
n
n1(x) ( x xk ) k0
从而 | Rn ( x) | 的大小与 Mn1和 | n1( x) | 有关，因此在 n 和 x [a, b]
给定的情况下，n 1个插值节点的选择应使 |n1( x) | 尽可能小。
• n次插值多项式对次数不高于n次的多项式完全精确。
( xi )
yi
达最
小。
1
4.1 多项式插值
设函数y=(x)在区间[a,b]上连续，给定n+1个不同点 a x0 < x1 < … < xn b
已知f(xk)=yk(k=0,1,…,n),在函数类P中寻找一函数P(x)作为(x)的近似表达式,使满足
P(xk)=f(xk)=yk ,k=0,1,…,n