第二章 土的本构关系2.1 概述材料的本构关系是反映材料的力学性状的数学表达式，表示形式一般为应力-应变-时间关系。

与时间有关的土的本构关系主要是指反映土流变性的理论，本章介绍的主要是与时间无关的本构关系。

土力学的基本理论有土的莫尔-库伦强度理论、有效应力原理和饱和粘土的一维固结理论。

但人们总是在实际中将问题分类为变形问题和稳定问题，前者一般基于弹性理论计算，后者多用刚塑性或理想塑性的理论（如极限平衡分析）。

多年来本构关系已经得到很大的发展，进而推动了岩土数值计算的发展和土工试验的发展。

下文将对土的本构关系进行详细论述。

2.2应力和应变1、应力（1）应力分量与应力张量设土体中的一点为M （x,y,z ）的应力状态用通过该点的微小立方体上的应力分量表示。

即：[]∂＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂z zy zx yz y yx xz xy x ττττττ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂333231232221131211亦即｛σ｝T ＝｛zx yz xy z y x τττ∂∂∂｝。

土力学中正应力正方向规定压为正。

剪应力，在正面（外法向与坐标轴一致的面），剪应力与坐标轴方向相反为正；在负面（外法向与坐标轴方向相反），剪应力与坐标轴方向一致为正。

（2）应力张量的坐标变换 二阶张量ij∂在任一新坐标系下的分量[[j i ∂应满足：[[j i ∂＝kl l j k i ∂[[αα，其中lj k i [[αα与为新坐标系轴与老坐标系轴夹角的余弦。

（3）应力张量的主应力和应力不变量在过一点的斜截面上，如果只有法向应力而无剪应力时，这个斜截面就是主应力面。

第一应力不变量：kkz y x I σσσσ=++=1第二应力不变量：2222zxyz xy x z z y y x I τττσσσσσσ---++=第三应力不变量：22232xyz zx y yz x zx yz xy z y x I τστστστττσσσ---+=（4）球应力张量与偏应力张量球应力张量：()()321332211313131σσσσσσσσ++=++==kk m偏应力张量：ijkk ij ij s δσσ31-=第一偏应力不变量：1≡=kk s J第二偏应力不变量：()()()[]21323222126121σσσσσσ-+-+-==ji ij s s J第三应力不变量：()()()213312321322227131σσσσσσσσσ------==ki jk ij s s s J（4）八面体应力八面体正应力：()3311321cot I m ==++=σσσσσ八面体剪应力：()()()[]212213232221cot3231J =-+-+-=σσσσσστ平均主应力：()321cot 31σσσσ++==p广义剪应力：()()()[]2cot 21323222132321J q ==-+-+-=τσσσσσσ（5）主应力空间和π平面主应力空间：以三个主应力为坐标轴，用应力为度量尺度形成的一个空间。

射线OS 与321σσσ轴夹角相等，则OS 线为空间对角线。

与空间对角线垂直的平面称为π平面。

π平面主要应力参数：A 、平均主应力B 、偏应力C 、应力洛德角θPQ 与QR 之间的夹角定义为洛德角θ。

以QR 起逆时针方向为正。

洛德参数：31312---2σσσσσμσ=3132σσσσ--=b ；应力洛德角是一个表征应力状态的参数，可表示中主应力和其他两个主应力间的相对比例。

2、应变1.应变张量⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=ij j i ij x x μμε21。

在工程中，剪应变与张量应变差0.5系数，亦即： 2.球应变张量和偏应变张量[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=300030003333231232221131211v v v εεεεεεεεεεεεε+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--33-3-333231232221131211v v v εεεεεεεεεεεε或者表示为ij ij kk ij e +=δεε31。

3.应变不变量和偏应变不变量()333231331e e e J ++=ε 其中，3,3,3332211v v v e e e εεεεεε-=-=-=4.八面体应变及应变π平面体应变：321εεεε++=v广义剪应变：()()()[]21213232221---32εεεεεεε++=应变洛德角：()31312-32tan εεεεεθε--=2.3土的应力应变特性土的主要应力应变特性是非线性、弹塑性和剪胀（剪缩）性。

影响土的应力应变特性的主要因素可以概括为 “3s ” 影响：应力水平（stress level ）、应力路径(stress path)和应力历史(stress history)。

1、非线性：土的非线性即土的应力应变之间为非线性关系。

表现：土的宏观变形是由于颗粒间位置变化引起的，而非土颗粒本身的变形。

颗粒间位置错动，使得不同应力水平下，即使应力增量相同，应变增量也不会相同，由此土就表现出了非线性。

例子：常规三轴压缩试验典型曲线表现了应力应变关系的非线性，反映了不同土质应变硬化（或加工硬化，即应力随应变增加而增加，如正常固结粘土和松砂）和应变软化（或加工软化，即一开始应力随应变增加而增加，但达到峰值后应力随应变增加而下降，如超固结粘土和密砂）两种情况。

图2.3-1 土的三轴试验典型曲线2、剪胀性：由剪应力引起的土的体积变化叫做剪胀性（dilatancy ）。

原因：由于剪应力引起土颗粒间相互位置的变化，使其排列发生变化，加大或减小了颗粒间的孔隙，从而体积发生了变化。

表现：在常规三轴压缩试验中，对于密砂或超固结粘土试样，除了刚开始会产生少量体积压缩（正体应变），随后还会发生明显的体胀（负体应变）。

而试验中平均主应力增量在加载过程中总是正的，所以v ε不可能是体积回弹，只能由剪应力引起。

援引魏汝龙在《论土的剪胀性》一文中的解释：影响土的剪胀性的因素主要有两个：土的天然密度或相对密实度和荷重历史。

土的剪胀性在排水的情况下表现为附加的体积变化，在不排水的情况下则表现为附加的孔隙压力变化，且上述两种情况中应以不同的剪胀性指标表示。

总的来说，土的剪胀性是由其结构性引起的。

3、土体变形的弹塑性：土在加卸载时，一般不会恢复到原来的应变状态，弹塑性变形几乎同时发生，且没有明显的屈服点。

土的变形可以表示为：pe εεε+=，其中不可恢复的塑性变形占到绝大部分。

表现：土在应力循环过程中是存在滞回圈，即每一次应力循环都有可恢复的弹性应变和不可恢复的塑性应变，越接近破坏应力这一现象越明显。

此外，卸载时试样发生体缩。

上述两现象均表明土在卸载-再加载过程中，变形并非完全弹性。

4、土应力应变各向异性：土在不同方向上物理力学性质不同。

主要表现为横向各向同性（即在水平面上各方向的性质大体相同），而竖向与横向性质不同。

原因：土在沉积过程中，在重力作用下倾向于长边沿水平方向排列而处于稳定状态。

随后的不等向固结也会产生土的各向异性。

原状土的各向异性常常是其结构性的表现。

表现：各向等压试验中，经常可见轴向应变小于1/3体应变，表明竖直方向比水平方向压缩性小。

各向异性可分为初始各向异性（inherent anisotropy ）和诱发各向异性（induced anisotropy ）。

前者可由天然沉积和固结造成，也可由在室内重力场中制样造成。

研究土的各向异性，可以通过真三轴仪试验，分别从3个主应力方向加荷，研究产生的应变分量变化。

在《土体的各向异性及近似模拟》一文中，作者提出了一种以邓肯模型为基础修正的各向异性本构模型，对于不同应力方向采用不同的弹性模量和泊松比，由常规三轴试验测定模型参数，研究了应力不等引起的各向异性，即上文所说的诱发各向异性。

目前常用的土体本构模型都没有反映各向异性的影响，故推导此类本构模型对复杂结构是十分必要的。

5、土的结构性：土颗粒本身的特点和颗粒问相互关系的综合特征。

具体来说是指：（1）土颗粒本身的特点：土颗粒大小、形状和摩圆度及表面性质（粗糙度）等（2）土颗粒之间的相互关系特点：粒间排列及其连结性质。

原因：颗粒的空间排列集合及土中各相间和颗粒间作用力造成。

粘性土的结构性指标为灵敏度：原状粘土无侧限抗压强度与重塑土的无侧限抗压强度比值。

6、土的流变性：粘性土的应力应变强度与时间有关。

与流变性有关的现象是土的蠕变和应力松弛。

——蠕变：应力保持不变，随时间增长应变逐渐增大。

【蠕变的一些性质：1、围压较大时易发生蠕变破裂；2、蠕变强度只有常规试验强度的50%；3、蠕变性会随其塑性、活动性和含水量增加而加剧。

】——应力松弛：应变不变，随时间增长应力有所下降。

在侧限压缩条件下，由于土的流变性会发生压缩，该压缩被称为次固结。

长期次固结使土体不断压密而使正常固结土呈现超固结土的特性，可称为拟超固结土或“老粘土”。

7、3S影响：（1）应力水平：围压会影响土的应力应变特性。

在高围压下，即使很密实的土，也没有剪胀性和应变软化现象。

实例见图2.3-2。

（注意：土的抗剪强度随着正应力或围压增加而升高，但破坏时的应力比或砂土内摩擦角随围压增加而降低。

）图2.3-2 承德中密砂在不同围压下的三轴试验曲线此外，土的变形模量也会随着围压增加而提高，也成为土的压硬性。

（2）应力路径：以下几组试验均体现了应力路径对土的应力应变特性的影响。

a、蒙特雷（Montery）松砂两种应力路径的三轴试验：表明了不同应力路径对松砂应变大小的影响。

图2.3-3 松砂在不同应力路径下应力应变关系b、伍德（英，剑桥大学）的正常固结粘土在π平面上不同应力路径的真三轴试验。

在盒式真三轴仪上对重塑的饱和粘土先各向等压固结后再沿OK进行剪切，然后从K出发沿不同路径继续试验。

发现应变路径会先沿着原先的路径方向发展，在新路径上走很长距离之后应变路径才逐渐靠向应力路径方向。

图2.3-4 正常固结粘土在π平面上不同应力路径的真三轴试验（3）应力历史：应力历史包括天然土在过去地质年代中受到的固结和地壳运动作用，也包括土在实验室或在工程施工、运行中受到的应力过程。

粘性土一般指的是其固结历史。

不同固结土的应力应变曲线有所差别，仍可用三轴试验典型曲线表示出来。

图2.3-1 土的三轴试验典型曲线此外，土的流变性也是一种应力历史的影响。

冷艺等对“应力历史对饱和砂土力学性状的影响”进行了试验研究，通过复杂条件下应力路径变化的应力控制式单调排水剪切试验中保持平均主应力不变，改变历史条件，得出以下结论：（1）应力历史的改变对砂土的剪切强度几乎没有影响，只对小变形范围的应力-应变特性有影响。

（2）应力历史对砂土应力-应变特性的影响反映为弹性轨迹的不同。