《高温等离子体物理》期末测试题
（2011）
柴忪 2010310796
1. 单粒子中的漂移运动和流体中的漂移有什么区别和联系？【10分】
答:在单粒子中存在:梯度B 漂移、曲率漂移、E ⨯B 漂移、极化漂移
在流体中存在：E ⨯B 漂移、抗磁性漂移
联系：一个流体元由很多个别的粒子组成，如果个别的粒子的导向中心具有E ⨯B 漂移，则流体也有这个方向的漂移。

区别：在流体元中存在由于∇P 而产生的抗磁性漂移，而单粒子中没有∇P 的概念，故而不存在这种漂移。

在单粒子梯度B 漂移中，离子和电子的漂移方向相反、漂移速度与L r v 和⊥成正比，在流体元中，由于电中性条件，他们所产生的静电流为0，所以不存在梯度B 漂移。

同样，离子和电子的极化漂移速度方向也相反，在流体元中，由于电中性条件，总的极化电流为0，故而流体中也不存在极化漂移。

2. 证明：安全因子是磁面量 (提醒：不要使用标准模型磁场的特例)。

【10分】
证明:如上图A 、B 所示，环通量
，角通量，则θ
ξ∇∇=ΦΦp d T d ，其中ξ∇为粒子沿环向走过的角度，θ∇为粒子沿角向走过的角度。

，，l---粒子在沿环向走一周时平均沿角向走过的角度 则
q d T ==ΦΦl
2d p π 3. 为什么环形约束系统还需要垂直场？ 假设等离子体电流为I ，等离子体柱大半径为R ，
小半径为a ，估算垂直场的大小。

【10分】
答：在环形约束系统中，环向电流感应出极向磁场。

由磁通量守恒可知，处于环向外侧的给定的极向磁通量转到环面内侧时将被挤压在较小的截面内。

这意味着内侧磁场的感应强度要比外侧磁场的大。

因而环向电流产生一个沿大半径向外的合力，是等离子体向外移动。

为了平衡这个力，就需要外加垂直场，给等离子体向内的推力。

故垂直场)2
1_12a 8(ln 40p i l R R I B βπμ+-+-=⊥，其中i l 为内电感，p β为极向比压。

4. 怎么理解磁流体力学要求碰撞足够频繁，但在理想磁流体中又可以假设碰撞不存在？
【10分】
答：在磁流体力学中忽略个别粒子的本性，只考虑流体元的运动，因为粒子间的频繁碰撞使得流体元中的粒子一起运动，因而磁流体力学要求碰撞足够频繁。

在理想磁流体中，所有的碰撞都是带电粒子间的库伦碰撞。

分为同类粒子间的碰撞和不同类粒子间的碰撞。

对于相同粒子正碰撞，他们倒转速度，交换相互的轨道，但是两个导向中心保持在相同的位置。

一个掠碰是，轨道几乎不受扰动。

而90度碰撞，速度方向改变了90度，碰撞后的轨道是虚线圆，导向中心发生位移，但是，两个导向中心的质心不变。

因此，可以说同类粒子的碰撞几乎不引起扩散。

对于不同类粒子的碰撞，例如180度碰撞，粒子以其倒转了的速度射出，由于粒子按照它的本性必须连续地围绕磁力线回转，两个导向中心以相同的方向运动，不同类粒子引起扩散。

从质量上来说，电子从几乎不动的离子弹离并以通常的方式随机游动。

离子则在每次碰撞中稍微被推撞，并且由于电子频繁轰击的结果而来回运动。

然而，由于每次碰撞的动量守恒，离子和电子的扩散率是相同的。

因此，在理想磁流体中，虽然存在碰撞，但是碰撞后并没有引起其他效应，我们可以假设碰撞不存在。

5. 从理想磁流体方程出发，推导磁流体波的色散关系，证明总是存在一支剪切阿尔芬波分
支，并说明其原因。

【10分】
证明:由磁流体力学方程可得:
01d =⨯+∂∂-=⨯∇=•∇⨯∇=⨯=B u E t B E B B
J B J dt u μρ
取z B B E J u e ,0,0,000000==== ,
运动方程可以化为B B t ⨯⨯∇=∂∂)(1u 10μ
ρ 所以线性方程最后化为：
t
∂∂10u ρ=z 10∂∂B B μ (Y 方向) =∂∂z E 1t
B ∂∂- （Y 方向） 0011=+B u E (X 方向)
对方程组做傅里叶变换后得：
=k u -0ωρμ0
B k k B ,
k ω=k E k B ,
k E =-0B k u .
由此可以得到色散关系：A kV ±=ω , A V =μρ2
0B
其中A V 称为剪切阿尔芬波速。

所以，可以证明磁流体波总是存在一支剪切阿尔芬波分支。

6. 推导中性流体中瑞利-泰勒不稳定性的色散关系【10分】
解：在等离子体中能发生瑞利-泰勒不稳定性。

处理简单的情况，考虑等离子体边界位于y-z 平面，如图所示。

假定-x 方向有一个密度梯度0n ∇，重力场g 在x 方向。

我们令K 0i ==e KT T 并处理0B 是均匀的低β。

在平衡态，离子遵守方程：
⨯=∇•00000n )(n v e v v M 0B +0n M g （1）
将方程与0B 叉乘，可以求出0v =y e 200 Ω
-=⨯g B B g M （2） 如果作为无规则涨落的结果，在交界面会发展一个涟波，则漂移将引起涟波增长。

离子漂移就在涟波的侧面建立起电荷，产生电场，这个电厂随着它从扰动的峰到谷的移动而改变符号。

如下图所示。

由于B E ⨯的存在，涟波的结果增长。

对于在y 方向传播的波，做线性化波分析。

扰动的离子运动方程是：
⨯+++=+∇•+++∂∂+)()[n ()]()()()[n 1011010101010v v E n e v v v v v v t
n M （]0B +)n (10n M +g （3）
对方程进行化简，并忽略二阶项得到：
⨯+=∇•+∂∂1101010n ][n v E e v v t
v M （）（）0B （4） 我们得到：)(k -01110B v E ie v v M ⨯+=）（ω （5）
对于Ex=0,和〉〉Ωc 22
0k -）（v ω，解为 0v B E y
ix = （6） 00k -v B E v i y c iy Ω-=ω （7）
后一个量是在离子坐标系中的极化漂移。

相应的电子量在极限m/M —0时变为0.所以对于电子，有0v B E y
ex = （8） ey v =0 （9）
扰动的离子连续性方程是
0)()()()(1110010110001=•∇+•∇+∇•+•∇+∇•+•∇+∂∂v n v n n v v n n v v n t n
（10）
由于0v 垂直于0n ∇，零阶项为0.如果0v 是常数，则01v n •∇为0.因此一阶方程是
00'0101=+++-iy ix v ikn n v n ikv n i ω （11） 其中x
n ∂∂=0'0n 。

因为ey v =0和0v e =0，电子遵循 -ex v n i +1ω'0n =0 （12）
因为中性流体，所以电子密度和离子密度相同。

由方程6、7、11可得：
0k -n k -0
00'0010=Ω++B E v ikn n B E i v Y c Y ωω）（ （13） 由方程8、9、12可得：
'0
10n n i B E Y ω= 0'001=+n B E i n Y ω （14） 将14代入13式可得：
10n k -）（v ω-（'0n +kn0c v Ω0
k -ω）'0
1n n ω=0 (15) 0'000/)(n n v kv c Ω-=-ωω (16)
用方程2代替 0v ，可得到二次方程
)/('002n n g kv --ωω=0 （17）
其解为
21
'02020)]/(4
1[21n n g v k kv +±=ω （18） 当ω是复数的时候，流体不稳定。

7. 证明：电磁波在上杂化和下杂化共振附近转化为准静电波。

10
8. 激光与等离子体相互作用，给出产生受激拉曼散射和受激布里渊散射的条件【10分】
答：受激拉曼散射：发生在等离子体中4/n c e n ≤的区域。

p s ωωω+→0，其中p ω是等离子体中的电子等离子体波。

在等离子体中的电磁波，只有当pe s ωω〉时才能传播。

如果令s ω=2pe ω+ω∆。

所以由4/202
ωω≤pe ，分别代入等离子体振荡频率的定义式和电磁波与临界密度的关系式后，可以得出能够发生这个参量过程的电子密度范围是 4/n c e n ≤
受激布里渊散射：发生在等离子体c e n 〈n 的区域中。

a s ωωω+→0，其中a ω是等离子体中的离子声波。

9. 分别用流体方法和动力学方法推导（一维）离子声波的色散关系？比较两种方法，并说
明为什么在通常条件下不能观察到离子声波，而在什么条件下又会出现离子声波不稳定性。

（提示，离子声波不稳定性需要电子相对于离子有宏观流动，可在之前推导中考虑该因素。

）【20分】。