一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
C'
y
1'
1
Байду номын сангаас
y f ( x)
——挠曲线方程
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x

y
1'
y
C'
1
在小变形下： 即：
dy y tan dx
——转角方程
任一横截面的转角 = 挠曲线在该截面形心处切线的斜率
2
9 ql 2 128
M max
1 2 M A ql 8
例 14 试作图示超静定梁的剪力图和弯矩图。
q
5.讨论 设MA为多余约束力 列变形几何方程
A Aq AM 0
A
A l
B 原结构
q MA A B 静定基
查表
Aq
ql M Al ， AM A 24 EI 3 EI
5Fl 3 Fl 2 Fl 3 l 6 EI 3 EI 2 EI
F A l C l
Me B
yBM
A F A C B
e
BM
B
e
Me
BF
yBF
3. Me和F共同作用时
2 M e l Fl 2 B BM e BF EI 2 EI 2 M e l 2 5Fl 3 y B y BM e y BF EI 6 EI
2.确定积分常数
FBy=
l
Me l
由 y x 0 0, D 0
由 y x l 0, C M e l 3
Me y 3 x 2 6lx 2l 2 6 EIl Me x 2 y x 3lx 2l 2 6 EIl




例11
求图示梁的挠曲线方程和转角方程。EI为常量。
A l
B 原结构
q A
5 ql 8
FQ
4.作FQ、M图 极值弯矩位置：
3 x0 : l ql : ql 8
B 静定基 FBy
x0 3 ql 8
3 x0 l 8
极值弯矩：
1 2 M M 0 FBy x0 qx0 2 1 ql 8 2 3 3 1 3 9 ql l q l ql 2 8 8 2 8 128
梁的刚度条件与梁的合理设计 一、梁的刚度条件

max
[ ]
y max [ y]
式中 [ ]——许用转角 [ y]——许用挠度
二、梁的合理设计
由 EIy M x 出发：
1.提高梁的抗弯刚度 2.减小梁跨度 3.改善梁的受力情况
简单超静定梁的解法
超静定梁
——仅用平衡方程不能求出全部约束反力的梁 ——就维持梁的平衡而言所不必要的约束
x0
F
2
转角连续——光滑性条件
A
1
B x
x = 0, y = 0 x = x 0 , y 1 = y 2 x = l , y = 0 ( = 0) y ( = 0) 1 = 2
例11
求图示梁的挠曲线方程和转角方程。EI为常量。
Me A
x
e
解：
1.列微分方程并积分
B
Me Me x M e M e FAy= M EIy Mx x l l l Me 2 EIy x Me x C 2l Me 3 Me 2 EIy x x Cx D 6l 2
五、 叠加法求梁的变形
基本原理 由几个外力同时作用时所引起的梁的变形 转角和挠度 等于
由各个外力单独作用时所引起的梁的变形的代数和
q F M
e
y yq y F y M e
例13 求B和yB 解： 1. Me单独作用时 2Mel BM e EI 2 2Mel 2 M e 2l y BM e EI 2 EI 2. F单独作用时 2 Fl BF CF 2 EI yBF yCF CF l
( 6)
Fxl Fx w ( 5) EI 2 EI 2 3 挠曲线方程 w Fx l Fx ( 6) 2 EI 6 EI 根据该梁边界条件和全梁横截面上弯矩均为负值， 描出挠曲线的示意图(图c)。
转角方程
例题 5-1
2
(c)
2. 求max和wmax
(c)
例题 5-1
由挠曲线可见，该梁的max和wmax均在x=l的 自由端处。由(5)、(6)两式得 2 2 2 Fl Fl Fl max | x l EI 2 EI 2 EI 3 3 3 Fl Fl Fl wmax w | x l 2 EI 6 EI 3 EI
1 1'
F
A
C
B
x
y
C'
y
1'
1
挠度（y）
—— 横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移 称为该点（横截面的形心）的挠度 向上为正，向下为负
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
y
C'
y
1'
1
转角（）
—— 横截面绕其中性轴旋转的角度 称为该横截面的转角 顺时针转为正，逆时针转为负
挠度与转角是度量梁的变形的两个基本量
——与多余约束相应的约束反力 ——多余约束的个数
多余约束
多余约束力 超静定次数
一次超静定梁
二次超静定梁
超静定梁的解法
变形比较法
1.选择静定基
2.通过比较多余约束处的变形求出多余约束力
例 14 试作图示超静定梁的剪力图和弯矩图。 q 解： 一次超静定
1.取静定基
设FBy为多余约束力 2.求FBy 列变形几何方程 yB yBq yBFBy 0 查表
(b)
例题 5-1
2. 确定积分常数，并求转角方程和挠曲线方程
该梁的边界条件为：在 x =0 处 w'=0 ，w =0
由(3)、(4)两式得
C1 0，C 2 0
将C1和C2代入(3)、(4)两式，得
转角方程 挠曲线方程
Fxl Fx 2 w EI 2 EI
( 5)
Fx 2l Fx 3 w 2 EI 6 EI
l
Me l
M Me
x
例题 5-1
解: 1. 列挠曲线近似微分方程，并积分。该梁的弯矩方 程为 M x F l x (1) 挠曲线近似微分方程为
EIw M x F l x ( 2) x2 通过两次积分得 EIw F lx C ( 3) 1 2 lx 2 x 3 EIw F 2 6 C1 x C 2 (4)
1 2 M A ql 8
MA
3
q A B
Aq
代入上式，解得
A
AMA
B
例 14 试作图示超静定梁的剪力图和弯矩图。
q
5.讨论 能否设FAy为多余约束力?
A l
B 原结构
q A B q A B FAy
几何可变的——平衡的位置是不稳定的
结论: 静定基的选取不是唯一的 静定基必须是几何不变的
第四节
弯曲变形和刚度计算
一、梁的变形度量——挠度与转角 二、挠曲线近似微分方程 三、积分法求梁的变形 四、位移条件
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
1 1'
F
A
C
B
x
C'
y
1'
1
挠曲线——梁在受力变形后的轴线，
又称为弹性曲线
若忽略剪力的影响，横截面绕其自身中性轴旋转
一、梁的变形度量——挠度与转角
x
Me
解：
Me 3 x 2 6lx 2l 2 6 EIl Me x 2 y x 3lx 2l 2 6 EIl


FAy=
A
x
B


Me l
l
FBy=
Me l
3.求 ymax
由 =0，
3 l 0.423l x0 1 3
Mel 2 ymax y x0 0.0642 EI Mel 2 l yC y 0.0625 EI 2
求梁变形的关键是求挠曲线方程
二、挠曲线近似微分方程 1.力学方面
M x x EI
2.数学方面
A
x
a x y F C

F D a B x
x
1 y
y
2 32
3.挠曲线近似微分方程

1 y
y
2 32
M x EI
二、挠曲线近似微分方程
可见：yC与ymax相差很小，两者相差不到ymax的3%。 对于简支梁，只要挠曲线上无拐点，总可以用跨中挠度
代替最大挠度，并且不会引起很大误差。 工程上通常采用中点的挠度值作为设计依据
例11 解：
求图示梁的挠曲线方程和转角方程。EI为常量。
Me A B
x
4.画挠曲线的大致形状
FAy= Me l
FBy=
三、积分法求梁的变形
EIy M x
对于等直杆 转角方程： 挠曲线方程：
EIy M x dxdx Cx D
EI M x dx C
四、位移条件