2 2 0
y
L
l
D1
o
r
x
r cos 2 r 2 sin2 d 2 r
2 .
( 其 中l 的 方 向 取逆时针方向)
(注意格林公式的条件)
3. 计算平面面积
Q P 格林公式: ( )dxdy L Pdx Qdy y D x
取 P y , Q x , 得 2 dxdy L xdy ydx
由(2)知
Q P ( )dxdy y D x
2 3
G
L3
E
L2
B
A
L1
C F
L EC CGA } ( Pdx Qdy) { AB L BA AFC CE
( L L L )( Pdx Qdy)
2 3 1
L Pdx Qdy
d x 1 ( y) A
E
y 2 ( x)
D
B
c
o a
x 2 ( y) Cy 1 ( x ) x b
D {( x , y ) 1 ( x ) y 2 ( x ), a x b} D {( x , y ) 1 ( y ) x 2 ( y ), c y d }
2u 2u . xy yx
（ⅳ） （ⅰ）
围的区域为
P Q 从而在 D 内每一点处有 . y x
(2) 当(0,0) D 时,
o y
L
x
作位于D 内圆周 l : x y r ,
2 2 2
记 D1 由L 和l 所ห้องสมุดไป่ตู้成,
应用格林公式,得
o
l
r
D1
x
xdy ydx xdy ydx L x 2 y 2 l x 2 y 2 0 xdy ydx xdy ydx L x 2 y 2 l x 2 y 2
3 3

xdy 3 cos t sin tdt•
L
0
12 [cos 4 t cos6 t ]dt
3 1 5 3 1 3 12 4 2 2 6 4 2 2 8 重要意义：
π 2 0
D -1 O
1
x
-1
1.它建立了二重积分与曲线积分的一种等式关系 2.它揭示了函数在区域内部与边界之间的内在联系 3.从它出发，可以导出数学物理中的许多重要公式
3
格林(Green)公式
一、格林公式 二、简单应用
一、区域连通性的分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所 围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区 域, 否则称为复连通区域.
D
D
单连通区域
复连通区域
二、格林公式
D 由分段光滑的曲线 定理1 设闭区域
阶连续偏导数, 则有
L围
D 上连续且具有一 成,函数 P ( x , y )及 Q ( x , y ) 在

L Pdx Qdy 0.
L L1 ( L2 )
定 理 4 设 区 域D 是 一 个 单 连 通 闭 区 域 , 函 数 P ( x , y ), Q ( x , y ) 在D 内连续且具有一阶连续偏导数 ,则以 下四个条件等价：
(i )沿D内任一按段光滑封闭曲线L，有

L
P( x, y )dx Q( x, y )dy 0
3
D2
L2
D
1
L
Q P Q P ( )dxdy ( )dxdy y y D x D D D x
1 2 3
Q P Q P Q P ( )dxdy ( )dxdy ( )dxdy x y x y x y D D D
y E D
d
d
x 1 ( y)
L Q ( x , y )dy
c o
C
x 2 ( y)
x
同理可证
P dxdy L P ( x , y )dx D y
两式相加得
Q P ( )dxdy L Pdx Qdy y D x
3
L D 证明(2) 若区域D 由按段光 滑的闭曲线围成.如图, D1 将 D 分成三个既是X 型又是 L Y 型的区域 D1 ,D2 ,D3 .
D
xdy,其中曲
o L
B
x
解 引入辅助曲线L , L OA AB BO
应用格林公式,
P 0, Q x 有
dxdy xdy
D L
OA xdy AB xdy BO xdy , 由于OA xdy 0,
BO xdy 0,
1 2 xdy dxdy r . AB 4 D
AB
u x x, y u x, y Pdx Qdy Pdx Qdy
AC AB
Pdx Qdy
BC
其中直线段 BC 平行于 x 轴由积分中值定理可得 u u x x, y u x, y Pdx Qdy BC
其中 0 1 ，由 Px, y 在 D 上的连续性 u u = lim lim P x x, y = Px, y x x0 x x0

x x x
Pdx Qdy P x x, y x,
u 同理可证 Q x, y .因此 y
D
闭区域D 的面积
1 A L xdy ydx . 2
取 P 0, Q x , 得 取 P y , Q 0, 得
A L xdy
A L ydx
x 轴所 例 4 计算抛物线( x y )2 ax (a 0)与 围成的面积.
解 ONA 为直线 y 0 .
四、曲线积分与路径无关的定义
如果对于区域 G 内任意指定的两点 A、B 以及 G 内 从点 A 到点 B 的任意两条曲线 L1，L2 有
L1 Pdx Qdy
y
L
2
Pdx Qdy
o
L1
B
L2
G
A

则称曲线积分 L Pdx Qdy
x
在 G 内与路径无关, 否则与路径有关.
L1 Pdx Qdy L2 Pdx Qdy
格林公式的实质:
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
沟通了沿闭曲线的积分与
二重积分之间的联系.
便于记忆形式:
D
x y dxdy L Pdx Qdy . P Q
三、简单应用
1. 简化曲线积分
例 1 计算 线 AB 是半径为 r 的圆在 第一象限部分.
AB
y
A
解
D , 记 L 所围成的闭区域为
y x , Q 2 令P 2 , 2 2 x y x y 2 2 Q y x P 2 2 2 则当 x y 0 时, 有 . 2 2 x ( x y ) y
y
(1) 当(0, 0) D 时,
L
D
xdy ydx 0 由格林公式知 L 2 2 x y
(ii )对 D内任一按段光滑曲线L，曲线积分

L
P( x, y )dx Q( x, y )dy
与路线无关,只与L的起点及终点有关; （ⅲ） Pdx Qdy是 D 内某一函数 u 的全微分，即
du Pdx Qdy；
P Q （ⅳ）在 D 内处处成立 y x
证 （ⅰ） （ⅱ）如图
dxdy
y2
xe OA AB BO
1 0
y2
dy
xe
OA
dy xe
x2
dx
1 1 (1 e ). 2
xdy ydx L 例 3 计算 L 2 2 ,其中 为一条无重点, x y L 的方 分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,
向为逆时针方向.
a a 1 2 x dx a . 4 0 6
格林公式的应用
从
Q P x y dxdy D
证明了：
P ( x, y)dx Q( x, y)dy（格林公式）
L
练习1
计算积分
x x ( e sin y y ) d x ( e cos y 1)dy L
曲线 AMO 由函数
M
A(a ,0)
N
y ax x , x [0, a ]表示,
1 A xdy ydx 2 L
1 1 ONA xdy ydx AMO xdy ydx 2 2
1 AMO xdy ydx 2
M
A(a ,0)
N
1 0 a a x( 1)dx ( ax x )dx 2 2 ax
y
1 L D
其中L是曲线|x|+|y|=1围成的区域D的正向边界。
解
x x ( e sin y y ) d x ( e cos y 1)dy L
②
-1
①
1 x
( e x cos y e x cos y 1) dxdy
D
O
A 2 2 2
③
-1
④
练习2 解
求星形线 L：x cos t , y sin t 所界图形的面积。 Q P y A dxdy d x d y x y 1 D D L 2π 4 2
du Pdx Qdy.
（ⅲ） （ⅳ）设存在 u x , y ，使得 du Pdx Qdy
所以P x, y u x, y , Q x, y u x, y .因此 x y 2 2 P u Q u , . y xy x yx 因 Px, y ， Qx, y 在区域 D 内有连续的偏导数，所以