Q P 2x x y
所以
2 2 xy d x x dy 0 C
2 2 I ( x y ) d x ( x sin y)dy 其中L为 例2 计算 L
y 2 x x 2 上由点O(0, 0)到点A(2, 0)的一段弧.
解：因为P=x2–y, Q= – (x+sin2y), 有
lim P( x x ) =P(x,y) x 0
u 即 P ( x, y ) x
类似有
u Q( x, y) y
故在D内存在一;Qdy, (3)成立
(3) (4) 设 D内存在一个函数u(x,y),使得 du(x,y)=Pdx+Qdy
y
B(x,y) • • D C(x+x,y) • A(x0,y0)
AB Pdx Qdy
只与B(x,y) 有关 o 故可令u(x,y)= AB Pdx Qdy
u u( x x, y ) u( x, y )
x
考察u(x,y)的可导性。 x, 使C ( x x, y) D
判断时应用最方便、最具操作性的是(4)
即
奇点
P Q ＝ y x
在曲线积分中破坏区域D的单连通性、以及函 数P(x,y)、Q(x,y)在D内具有一阶连续偏导数的点 称为奇点。 在定理2的条件下， 曲线积分在D内与积分路 径无关。则
u( x, y) AB Pdx Qdy A( x , y ) Pdx Qdy
0 0
B( x , y )
且具有du(x,y)=Pdx+Qdy， 称u(x,y)为Pdx+Qdy的一个原函数。
y
若 P Q y x
A( x0 , y0 )
B( x1 , y1 )
C ( x1 , y0 )
则
A( x , y ) Pdx Qdy
0 0
B ( x1 , y1 )
解 原式 L 2 y sin2 x sin 2 x dx sin4 x dy L e y ( x 1) dy
2
(0,0) d ( y sin4 x ) L edy
( 2,0 )
=0+0=0
小结
与路径无关的四个等价命题 条 在单连通开区域D 上 P ( x , y ), Q( x , y ) 具有 件 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.
3
2 0
8 3
2 2 4 ( x 2 xy ) dx ( x y )dy . 计算 例3 L
其中
x L 为由点O(0, 0) 到点 B(1, 1) 的曲线弧 y sin . 2
解
P 2 ( x 2 xy ) 2 x y y P Q ， Q 2 y x ( x y4 ) 2 x x x 原积分与路径无关
(4) (1)
设L D是按段光滑的封闭的曲 线，
L围成的区域为，由于D是单连通的，因此 D, 由Green公式得 Q P L Pdx Qdy ( x y )dxdy 0 综合之定理成立
有关定理的说明： (1) 区域D是单连通区域 ;
(2) 函数P(x,y),Q(x,y)在D内具有一阶连续偏导数. 两个条件缺一不可。
第四节 平面上曲线积分 与路径无关的条件
一、定义 二、条件 三、应用
一、定义
定义1. 设区域 DR2. 若D内任一简单曲线所围 内部完全属于D. 则称D为单连域, 否则称D为复连域.
单连域
复连域
定义2. 设D是一开区域,P、Q在D 内有一阶连续偏导数,若对任 意两点A，B以及从点A到点B 的任意两条曲线L1和L2，恒 有
故
( x ) x 2 .
( 0,0)
1
( 1 ,1 )
xy 2dx y( x )dy
1
1 0 0dx 0 ydy . 2
例5 计算曲线积分
L 2 y sin
2
x sin 2 x dx [sin x e
4
y ( x 1)2
]dy
其中L为 y 1 ( x 1)2 上由点O(0, 0)到点A(2, 0) 的一 段弧。
Q( x , y ) y( x ),
P Q 2 ( xy ) 2 xy, [ y( x )] y( x ), y y x x
P Q 积分与路径无关 ， y x
由 y( x ) 2 xy
( x ) x 2 c
由(0) 0 ，知c 0
故原式

1
0
23 x dx 0 (1 y )dy . 15
2 1 4
2 设曲线积分 xy 例4 dx y( x )dy 与路径无关,
其中 具有连续的导数, 且( 0) 0 , 计算
( 1 ,1 ) ( 0,0 )
L
xy 2dx y( x )dy .
2
解
P ( x, y ) xy ,
即 u u P, Q x y 2 u P 2 u Q 则 , xy y yx x
由于P、Q具有一阶连续偏导，
2u 2u 则 、 是连续的 xy yx 2 u P 2 u Q 即而 ＝ xy y yx x
P 1 Q y x
所以此曲线积分与路径无关，
y
L A x
取 OA ：y=0 0≤x≤2
0
所以
2 2 ( x y ) d x ( x sin y)dy L
OA ( x y)dx ( x sin y)dy
2 2
x 0 x dx 3
2 2
AC Pdx Qdy AB Pdx Qdy AC Pdx Qdy BC Pdx Qdy AB Pdx Qdy
BC Pdx Qdy x
积分中值定理
x x
P ( x , y )dx
P ( x x ) x
P ( x x ) x u 从而 lim lim x 0 x x 0 x
等 (1) 在D内L Pdx Qdy与路径无关
价 ( 2)
C Pdx Qdy 0,闭曲线C D
y x
命 ( 3) 在D内存在U ( x , y )使du Pdx Qdy 题 (4) 在D内, P Q
D
设连接A、B两点的弧段 L1、L2 D，如图 o 由(1)得
A

x

P d x Q d y 0 . AEBFA
Pdx Qdy
AEB Pdx Qdy BFA Pdx Qdy
即

L1

L2
Pdx Qdy
故(2)成立。
(2) (3) 取定A(x0,y0)D B(x,y) D 由(2)得
o
y1
0
x
x P( x, y0 )dx y Q( x1 , y)dy
0
x1
或 y Q( x0 , y )dy x P ( x, y1 )dx
0 0
y1
x1
三、应用
例1. 证明：对任一光滑的简单闭曲线C，有
2 2 xy d x x dy 0 C
y
C 0 x
证：因为 P=2xy，Q=x2，有
(2)
L Pdx Qdy在D内与路径L无关.
x y
(3) 在D内存在一个函数u(x,y),使得 u u du(x,y)=Pdx+Qdy, 即 P, Q
Q P (4) 在D内处处成立. x y
证明 采用循环论证 (1) (2) 设A、BD
y
L1 F
B
E
L2
L2
B L1
A
D
L
Pdx Qdy
1
L
Pdx Qdy
2
则称此曲线积分在D内与路径无关.
二、条件
定理2 设DR2为有界单连域，若P(x,y)和Q(x,y) 在D内具有一阶连续偏导数，则下列四个条 件等价： (1) 对D内任一光滑或分段光滑的简单闭曲线C有 C Pdx Qdy 0.