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2009年11月27日
鲁棒控制理论及应用课程
信息科学与工程学院
何 勇
基于规范互质分解描述的鲁棒稳定性
z2
ΔN (s)
w2
w1
w
ΔM (s)
z1
W (s)
r
K (s)
N1 ( s )
M
−1 1
(s)
-
PA ( s )
y
U C = { PA ( s ) = [ M 1 ( s ) + M Δ M ( s )]−1[ N1 ( s ) + W Δ N ( s )], Δ ( s ) ∈ BH ∞ ⎡ I ⎤ −1 −1 Tzw ( s ) = ⎢ ⎥ [ I + P( s ) K ( s )] M 1 ( s )W ( s ) ⎣ − K (s) ⎦
σ max [Tzω ( jω )]
当Δ ( s ) = 0 时闭 环控制系统是 稳定的；
10 − 1
( I + KP) KW ∈ BH ∞
−1
10 − 2 10 − 2
10 − 1
10 0
101
10 2 ω
奇异值曲线
K(s)是稳定化控制器
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函数 V ( x) = xT Px 对时间的导数不依赖于让r(t)和s(t)的值而满 足
& V ( x) = x T {[ A + ΔA( r (t ))]T P + P[ A + ΔA( r (t ))]}x − 2 x T P[ B + ΔB ( s (t ))] f ( x)
≤ −a x(t ) ,
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二次稳定化问题
& 定义：在系统 x(t) = A(r(t))x(t) + B(s(t))u(t) 中，若存在连续的状态反 定义： 馈控制 u(t ) = f ( x(t )), f (0) = 0 以及n维常数矩阵P>0和常数a>0，而且对应于闭环控制 系统 & x(t ) = A(r (t )) x(t ) + B ( s (t )) f ( x(t ))
（A; D, E ) = min{ Δ : A + DΔE为不稳定} r
称为稳定矩阵A对不确定性D△E的稳定半径。
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关于稳定半径的计算
定理1：假设矩阵A是稳定的，而且 G(s) = E (sI − A)−1 D ≠ 0 则稳 −1 rc = r ( A; D, E ) = G ( s) ∞ 定半径rc为
x =
。
y
=
A x +
D u
E 在式（A; D, E ) = min{ Δ : A + DΔE为不稳定}中，当△为实 数时，则稳定矩阵A对实数不确定性D△E的稳定半 径rR为 rR = rR ( A; DΔE ) = ( Sup GR ( jω ) )−1
ω∈Ω
其中 Ω = {Ω ∈ R; GI ( jω) = 0}, GR ( s )和GI ( s )分别为G ( s ) 的实部和虚部。
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∀x ∈ R n , ∀t ∈ R
则称系统是可二次稳定化的(quadratically stabilizable)。
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二次稳定性的性质
定义：下述两种陈述是等价的。 定义： & a) 系统 x(t) = A(r(t))x(t) + B(s(t))u(t) 可通过线性控制u=-Kx实 现二次稳定化； & b) 对系统 x(t) = A(r(t))x(t) + B(s(t))u(t) 实施适当的线性状态反 馈u = - K x后获得的闭环控制系统是二次稳定的。 引理：下述三个结论是等价的。 引理： & a) 系统x(t) = A(r(t))x(t) + B(s(t))u(t)是二次稳定的； b) 存在常数矩阵P>0和常数a>0，使
}
可鲁棒稳定化的充分与必要条件是Γ A 为正定，其中
⎡1− β β 1 − β1 β p 1 1 L ⎢ λ1 + λp ⎢ λ1 + λ1 ⎢ L L ΓA = ⎢ L ⎢1 − β β 1 − β1 β p p 1 ⎢ L ⎢ λp + λ1 λ1 + λp ⎣
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⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
W (λ ) βi = % i P (λ i )
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乘法不确定性的鲁棒稳定化条件
z
K ( s)
P (s) PA ( s)
Δ( s )
W ( s)
w y
rU M = [ I + W ( s )Δ ( s )]P ( s ), Δ ( s ) ∈ BH ∞
{
}
Tzω = −[ I + PK ]−1 PKW
定理： K 为鲁棒稳定化控制器的充分与必要条件是，当 Δ(s) = 0 时闭环控制系统是稳定的，且 ( I + PK )−1 PKW ∈ BH∞
∞
< 1; K ( s ) =
5( s + 0.2)( s + 0.1) s ( s + 5)
Tyr ( s ) = [1 + P ( s ) K ( s )]−1 P ( s ) K ( s ) ∈ RH ∞
Tzw ( s) = [1 + P( s) K ( s)]−1 K ( s)W ( s)
101 10 0
Re λi > 0,
βi < 1
插值问题：求所有属于BH∞且满足插值条件 插值问题 F (λi ) = βi , i = 1, 2,L , p 的标量函数及其存在的条件。 引理：插值问题可解的充分与必要条件是矩阵 引理：
⎡1− β β 1 − β1 β p 1 1 L ⎢ λ1 + λp ⎢ λ1 + λ1 ⎢ L L ΓA = ⎢ L ⎢1 − β β 1 − β1 β p p 1 ⎢ L ⎢ λp + λ1 λ1 + λp ⎣ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
}
定理： K 为鲁棒稳定化控制器的充分与必要条件是，当 ΔM (s) = Δ N (s) = 0 时闭环控制系统是稳定的，且
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⎡I ⎤ −1 −1 ⎢ − K ( s ) ⎥ [ I + P( s) K ( s)] M 1 ( s )W ( s ) ∈ BH ∞ ⎣ ⎦
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其它典型不确定性的鲁棒稳定化条件
W (s ) Δ (s )
－
W (s )
Δ (s )
－
K (s )
－
P (s )
K (s )
P (s )
a : PA ( s) = [ I + W ( s )Δ( s ) P( s)]−1 P( s )
b : PA ( s) = [ I + W ( s)Δ( s)]−1 P( s)
AT [ r (t )]P + PA[ r (t )] ≤ − aI , ∀r (t ) ∈ Rr
c) 存在常数矩阵P>0，满足
AT [ r (t )]P + PA[ r (t )] < 0, ∀r (t ) ∈ Rr
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可线性二次稳定化控制
为正定的，其中 βi 和 λ i 分别为 βi 和 λ i 的共轭复数。
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可鲁棒稳定化条件(1)
定理： 假设公称模型P(s)具有不同的p个不稳定极点λ1 ,λ2 ,… ,λp , Re λi﹥0,则对于非结构化集合：
U A = { PA ( s ) = P ( s ) + W ( s )Δ ( s ) : Δ ( s )∈ BH ∞
λ1 + μ 1
L 1
L L L L L L
λp + λ p
1
λp + μ1
1
μ1 + λ p
L 1
μ1 + μ 1
L 1
9
μ2 + λ p
μ2 + μ1
⎤ ⎥ λ1 + μ z ⎥ ⎥ L ⎥ 1 ⎥ ⎥ λp + μ z ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎥ μ1 + μ z ⎥ L ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎥ μ2 + μ z ⎥ ⎦ 1
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稳定半径的意义
& 对于系统 x(t) = A(r(t))x(t), A(r(t))＝A + DΔE, Δ ≤ r 使用状态 Im 反馈u=-Kx进行稳定化控制 1.5
1.0
& x(t ) = ( AK + DΔE) x(t )
AK = A + BK
0.5 0
−0.5 −1.0
−1 ∞
rR −1
rc −1
Re
稳定半径可定义为
rc＝r ( AK , D, E ) = E ( sI − AK ) D
−1
−1.5 −1.5 −1.0 −0.5