z z
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复数z 的辐角：向量 OP 的方向角 . 记作 Arg z .
y
注意:
y
z x yi
2) 0的模为零，0的辐角不确定. 3)
O

x
x
复数z的幅角主值: 满足 π π 的那个幅角.
记作 arg z . 于是幅角与幅角主值的关系
例5
求下列复方程所表示的曲线:
(1) z 1 z 1 4;
(2)Re( z 2 ) 1.
x2 y2 设 z x iy, 代入复方程得 1 4 3
3i
(1)
(2)
2
1
1
2
1
1
3i
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*二、复球面
1.南极、北极的定义
取一个与复平面切于原 点 z 0 的球面, 球面上一点 S 与原点重合,
复数 z 的指数表示式为 z 4e
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5π i 6
.
习惯上取主辐角
例5
将下列复数化为三角表示式与指数表示式 :
z sin 5 i cos 5 ;
解
r z 1,
3 sin cos cos , 5 10 2 5
Arg z arg z 2 k π , k 0, 1, 2, .
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幅角主值的计算: 注意arg z ( , ]. arctan y , 若z在第一、四象限； x y arctan π, 若z在第二、三象限； x arg z π, x 0, y 0, 若 2 0或π, 若 x 0, y 0.
y
为2的点的轨迹.
即表示中心为 i , 半径为 2 的圆. 设 z x iy,
o
-i
x
x ( y 1)i 2,
x 2 ( y 1)2 2, 圆方程 x 2 ( y 1)2 4.
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( 2) z 2i z 2
表示所有与点 2i 和 2距离相等的垂直平分线.
y
z2
z2
o
z1
z1 z2
z1 z 2 z1
x
z1
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例3 求下列在复平面上所表示的曲线: (1) z i 2; ( 2) z 2i z 2 ;

( 3) Im(i z ) 4.
解 (1) 方程 z i 2 表示所有与点 i 距离
线用复数形式的方程来 表示.
解
通过两点( x1 , y1 ) 与 ( x2 , y2 ) 的直线的方程
x x1 t ( x2 x1 ) 参数 t ( , ), y y1 t ( y2 y1 )
所以它的复数形式的参数方程为(复方程)
z z1 t ( z2 z1 )
设 z x iy,
化简后得
x yi 2i x yi 2 ,
2i 2
y x.
( 3) Im( i z ) 4 i z x (1 y )i ,
设 z x iy,
Im( i z ) 1 y 4,
所求曲线方程为y 3.
各种表示法可相互转化,
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思考题
1.是否任意复数都有辐角?
它的模为零而辐角不确定.
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作业
习题一: 1(2)(4)、2、4(1)(6) 7,8(3)(4)(5)
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例4 将通过两点 z1 x1 iy1 与 z2 x2 iy2 的直


, ( ),

0
, ( 0)
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为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远
点．无穷远点与无穷大这个复数相对应 , 所谓无穷
大是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯一的一个 复数，不要与实数中的无穷大或正、负无穷大混为
一谈．
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z x iy
y 其中arctan ( , ). x 2 2
y
y
z x iy
O
x
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例1 求 z 的模和幅角： (1) z 1 i ; (2) z i .
2 2 解 (1)模为 | z | x y 2 .
由于z 位于第二象限， y z z y arg z arctan x π x arctan(1) π , 4 3π Arg z arg z 2k 2 k π , k 0, 1, 2, . 4

sin 3 , cos sin 10 5 2 5

3 3 故三角表示式为 z cos i sin , 10 10
指数表示式为 z e
3 i 10
.
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内容小结
1.复数的模、辐角、幅角主值;
2.复数的各种表示法.
N P
通过 S 作垂直于复平面的 直线与球面相交于另一 点 N,
我们称 N 为北极, S 为南极.
S O
y
x
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2.复球面的定义 球面上的点，除去北极 N 外，与复平面内的 点之间存在着一一对应的关系 . 我们可以用球
面上的点来表示复数.
规定：复数中有一个唯一的“无穷大”与复平 面上的无穷远点相对应 , 记作∞. 因而球面上
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关于 的四则运算规定如下:
(1) 加法 : , ( ) (2) 减法 : , ( ) (3) 乘法 : , ( 0)
(4) 除法 :


0,
的北极 N 就是复数无穷大∞的几何表示. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,
这样的球面称为复球面.
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3.扩充复平面的定义 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面. 对于复数∞来说，实部、虚部、辐角等概念均 无意义，它的模规定为正无穷大. 复球面的优越处: 能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.
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2.用复平面上的向量表示复数 向量 OP 与复数 z x iy 一一对应，故用它表示复数.
y
P
z
o
z x iy
x
y
注意： 复数 z，点 z，向量 z 可视为同一个概念。 z 与 z 在复平面上关于实轴对称. y
O
z x yi
r
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y arctan x
arctan
y x
y arctan x
y arctan x
例2 证明复平面上的三角不等式
(1) z1 z2 z1 z2 ; (2) z1 z2 z1 z2 .
证 两复数的加减运算满足向量的平行四边形法则，
且 z1 z2 表示点 z1 和 z2 之间的距离 , 故成立不等式.
第二节 复数的几何表示
一、复数的几何表示 二、模和辐角
第一章
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一、复数的几何表示
1.用复平面上的点表示复数
复数z x iy与有序实数对( x, y )一一对应.
故用直角坐标平面上的点可以用来表示复数.
(虚轴) (2,2) z =2+2i
(实轴)
把该直角坐标面称为复平面, x轴叫实轴, y轴叫虚轴.
参数 t ( , ),
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故,由 z1 到 z2 的直线段的参数方程为
z z1 t ( z2 z1 )
1 若取 t , 2 z1 z2 . 得线段 z1 z2 的中点坐标为 z 2
0 t 1
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y
z x yi
三、复数的三角表示和指数表示
O
r

x r cos , 利用直角坐标与极坐标的关系 y r sin ,
x
则z也可以表示成
复数的三角表示式 再利用欧拉公式 ei cos i sin , 则z也可以表示成 复数的指数表示式
x
z x yi
x
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二、复数的模和幅角 复数z 的模：向量 OP 的长度，记作
z r x2 y2 .
y
P
容易看出，
r
o
x z, y z,
z x y,
z z z z2 ,
2
x
z x iy y x
z x iy
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例4 解
| z | 12 4 4, 2 arg z arctan( )π 12 1 arctan π 3
y
2
12

x
π 5π π . 6 6 5π 5π z i sin ). 复数 的三角表示式为 z 4 ( cos 6 6
(2) z 1, arg z , Arg z arg z 2k 2k 2 2

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2i 2(1 i ) 3 i . 解 z 1 i i