图示为正态分布函数，表达式为
y f x 1 e 2
x2 2 2
误差法则
2.5.2 正态分布函数及其特征
从检测的角度看，正态分布常用N(A0,σ2) 表示。A0 和σ分 别为测量的真值和标准误差。设测量值 M 作为随机变量， 它服从正态分布，则有：
f (M )
1 2
2 2
D 2 D 2 2 2 2 2 D s d 5 0.05 24 0.1 2.41mm s d
2.6.2 不等精度测量的加权及其误差
权重——权重衡量测量结果可靠程度。 1）权重的大小：权重的大小是相对的，一般用方差的倒数 2 2 2 的比值表示。若m组测量数据各自的方差分别为 1 , 2 ,..., m 则 1 1 1 p1 : p2 : : pm 2 : 2 : : 2
2 2 2
36 9 4 12 2 2 3 2 1.05 49 49 49
2.4 误差分类
三、随机误差
1.定义：由随机因素引发，一般无法排除并难以校正的误 差。 2.产生的原因：是由测量过程中互相独立的、微小的偶然 因素引起的。 3.消除：不能消除，也不能修正，值是随机的。 4.特点：多次重复测量时，总体服从统计规律，故可以了 解它的分布特性，并能对其大小和测量结果的可靠性作出 估计，是误差理论的依据。
求解过程由简单到一般分成了三种情况：
1、简易情况：
Y X1 X2
2 Y 2 2
1
2.6.1 误差传递法则
2、任意线性结合的情况：
Y a1 X 1 a2 X 2 an X n K
2 2 2 2 Y a12 12 a 2 2 an n
2.4 误差分类
二、粗大误差
1.定义：相同条件下多次重复测量同一量时，明显偏离 了结果的误差。 2.产生的原因：疏忽大意或不正确的观测、测量条件的 突然变化、仪器故障等。 3.消除：测量中应避免这类误差的出现。含有粗大误差 的测量值称为坏值。可用统计方法或遵循一些准则判断某 一测量值是否为坏值，并剔除。
解： 根据误差传递公式：
A
2
1 2 1 1 n 2 2 2 2 2 1 2 2 2 n 2 n n n n n
所以： A

n
根据上式可知平均值的标准误差为 n 。这意味着多次测量 时，取其平均值作为测量结果时，误差相对变小，可提高测量 精度 n 倍。
最大值 拐点 标准误差（标准偏差）：σ是方 差σ2的平方根，它表示随机误差相 对于中心位置的离散程度。

2


x 2 f ( x )dx
2
算术平均误差 ：误差绝对值的平均值。



x f ( x )dx
2
2.5.2 正态分布函数及其特征
概率 ( 或然 ) 误差 ：随机误差 落在该范围内外的概率相等。
2 2
z 1 z px z
2.6.1 误差传递法则
问题描述：当间接检测量Y与相互独立的直 接检测量X1,X2,…有如下的函数关系：
Y ( X 1 , X 2 ,)
并且X1,X2,…的标准方差分别为 12 ， 22 ，… 时，如何求Y的标准方差 y2 ？

–
误差函数的有关符号：
3）误差在a与b之间的概率
p a x b f x dx
a
b
–
4）检测值存在误差的概率为1
p x


f x dx 1
2.5.1 随机误差概率密度函数的性质

测量次数增多，统计误差频率后，可发现随机误差的 性质
上节主要内容
典型的检测仪表控制系统及工业检测仪表控制系
统的一般结构
检测和仪表中常用的基本性能指标
测量范围、上下限、量程；零点迁移和量程
迁移；灵敏度和分辨率；误差；精确度；滞环、
死区和回差，重复性和再现性
检测仪表技术发展趋势
2 误差分析基础及测量不确定度
2.1 检测精度

精度是相对而言的，被测量对象不同，则精度 要求不同。
1
2
m
若各种检测方法精度相同，但测量次数不同，可得：
p1 : p2 : : pm n1 : n2 : : nm
2）加权平均
思考题：根据误差传递法则，加权平均值的标准偏差？
2.6.2 不等精度测量的加权及其误差
X 1 1, 1 1; X 2 2, 2 2; X 3 3, 3 3 例：已知 求加权平均值和加权标准偏差。 1 1 1 1 1 1 p : p : p : : : : 36 : 9 : 4 解： 1 4 9 取p1=36, p2=9, p3=4
3、一般情况：假设Y与n个独立测量的量有函数关系。 该式被称为误差传递法则。
注意：尽管在间接检测函数中有差的结合方式，但 求标准误差的公式中方差均为和的形式。
2.6.1 误差传递法则
例1：一组测量值的算术平均值
为 A ( M1 M 2 M n ) / n ，测量值之间相互独立， 测量的标准误差同为 时，求其平均值的标准误差。
e
2 M A0 2 2


N ( A0 , 2 )
实际数据分析中，常把 N(A0,σ2) 变成标准正态分布 N(0,1) 处理。只需令 M A0 t 使分布密度函数变为：
f (t )
1 2
e
t2 2
N (0,1)
2.5.2 正态分布函数及其特征
2.3 误差原因分析

⑥检测环境的影响，包括温度、湿度、气压、振动、辐射等；


⑦不同采样所得测量值的差异造成的误差；
⑧人为的疏忽造成误读，包括个人读表偏差，知识和经验的深浅， 体力及精神状态等因素；

⑨测量器件进入被测对象，破坏了所要测量的原有状态； ⑩被测对象本身变动大，易受外界干扰以致测量值不稳定等。
2.4 误差分类
按照误差的特点和性质，误差可分为系统误差 、 粗大误差、随机误差。
一、系统误差：
1.定义：相同条件下多次测量同一量时，误差的大小 和符号保持不变，或按照一定的规律变化。 2.产生的原因：它是由测量工具或仪器本身或对仪器 使用不当而造成的。 3.消除方法：查明原因可以消除；对测量值进行修正； 改善测量条件；改进测量方法等。



f ( x )dx 0.5 0.6745
极限误差： 随机误差以给定 概率（通常较大）落在极限误 差的范围内。极限误差通常为 标准误差的2倍或3倍。
2.5.3 置信区间与置信概率
•置信区间：定义为随机变量的取值范围，用正态分布的标 f ( x) ★置信区间、置信概率和 准误差σ 的倍数来表示，即±zσ ，z叫置信系数。
2
v
i
0

标准误差(标准偏差)：方差的均方根值，表示Mi偏 离A0的程度
1 n 2 M A i 0 n i 1 协方差与相关系数：

两组测量值xik和xjk的平均值分别为Ai和Aj
2.2.2几种误差的定义

协方差被定义为

2 Xi X j
1 n X ik Ai X jk Aj n k 1

测量精度可以用误差来表示。测量精度越高误 差越小；精度越低误差越大。
精度高的仪器其使用条件苛刻，维护费用大， 实际使用时应适当选择测量精度。

2.2.1 真值、测量值与误差的关系

误差x：测量值M偏离真值A0的程度 x M A0 进行n次测量，横坐标为测量值，纵坐

标为测得其测量值的频率
1 2 3 2 1 2 2 2 3

2 2
1 36 2 9 3 4 1.35 36 9 4
2
X
'
p1 2 p 2 2 p 3 2 p 1 p 2 p 3 i i i

相关系数是标准化的协方差
r Xi , X j
2 X X
i i j
X X
j
2.2.3 测量的准确度与精密度
精密度：测量值之间差异小的测 量为精密测量，衡量指标为方差


准确度：无数次测量得到的平均 值与真值之间的偏差大小。即衡 量指标为误差
测量的准确度与精密度
2.2.3 测量的准确度与精密度
2.6.1 误差传递法则
例2：用弓高弦长法间接测量圆的大直径 D，如图。已 2
知s和d，利用公式 D s d 计算出D。求直径的标准 误差σD 。 4d S=500mm,σs=0.05mm，d=50mm,σd =0.1mm，
s
D
d
D s 500 解： 5 s 2d 2 50 5002 D s 2 2 1 1 24 2 d 4d 4 50
（a）
（ b）
（c）
2.3 误差原因分析

①被检测物理模型的前提条件属理想条件，与实际检测条件
有出入；

②测量器件的材料性能或制作方法不佳使检测特性随时间而 发生劣化；


③电气、空气压、油压等动力源的噪声及容量的影响；
④检测线路接头之间存在接触电势或接触电阻； ⑤检测系统的惯性即迟延传递特性不符合检测的目的要求， 因此要同时考虑系统静态特性和动态特性；
置信水平之间的关系如图 •置信概率：随机变量在置信区间±zσ 内取值的概率。 置信概率P 所示。置信水平越高，置 x z 2 2 z px z e dx 信概率越小，误差范围越 0 2 2 2 小，测量的精度要求越高， 置信度：把置信区间和置信概率结合起来称之为置信度，即 x 测量的可靠性越低。实际 置信区间 可信程度。说明测量结果的可信度。 测量中，置信概率 95%可 置信水平：表示随机变量在置信区间以外取值的概率。 靠性就可以了。