由叉积定义,若 e1, e2 , e3 是直角坐标系的单位基矢量
则
ei e j ei jkek
(2.6)
ei jk ei jlel ek (ei e j) ek (ek ei ) e j (e j ek ) ei
(2.7)
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
x1 a11x1 a12 x2 a13x3
x2 a21x1 a22 x2 a23x3
x3 a31x1 a32 x2 a33x3
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
ei Aije j i 为自由指标，j 为哑标
表示
e1 A11e1 A12e2 A13e3 e2 A21e1 A22e2 A23e3
0 0 1 31 32 33
(a)
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
i1 i2 i3
j1 j2 j3 eijk e123
(b)
k1 k2 k3
(3).同理,由(b)式交换列可得到(2.10)式 从(2.10)式可得到下面几个有用的恒等式
ir eijk ersk jr
kr
is js ks
ik jk kk

ik
jr kr
js ks
jk
ir kr
is ks


kk

ir jr
is jr js ir
js ir is jr
is 3 ir js jr
is js
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
ir eijk ersk jr
kr
is js ks
ik jk kk

ik
jr kr
js ks
jk
ir kr
is ks


kk
ir jr
is jr js ir
js ir is jr
任意两矢量a和 b的点积
a b | a || b | cos(a,b) 两矢量a和 b用正交基ei 表示,则其点积为
a b aiei bje j aibjei e j aibjij aibi (2.4)
矢量a的模
| ei || e j | cos(ei , e j )
ikTk j i iTij Tij
ik k j ij , ik k j jm im
例
Ami Bn j , 34 81 个数，
求 m n 项的和。
nm Ami Bn j Ani Bn j Ami Bm j
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
在卡氏直角坐标系下，Kronecker delta 符号定义为：
ij

1, 0,
i j i j
其中 i，j 为自由指标，取遍1，2，3；因此，可确定 一单位矩阵：
11 12 13 1 0 0
21
22

23


0
1
0
31 32 33 0 0 1
C13 A1k B3k A11B31 A12B32 A13B33
C21 A2k B1k A21B11 A22 B12 A23B13
……
C33 A3k B3k A31B31 A32 B32 A33B33
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
C: Kronecker delta符号
(2.16)
ei ei e j e j ije j ei ei e j e j ije j
(2.15)
ij 变换系数 ij ji ij ei e j ikek jtet ik jt kt ik jk ij ei e j ikek ejt t ik jt kt ik jk
b1
b2
b3

(2.9)
aibjck e jkl il
c1 c2 c3
aibjck e jki
a,b,c为共点棱的平行六面体的体积，
a,b,c构成右手系为正
aib jck eijk
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
Ｅ: Kronecker delta符号与置换符号 Permutation symbol的关系
ei jk ejki eki j ejik eik j ek ji
ei jk 也称为三维空间的排列符号。
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
任意两矢量a和 b的叉积
e1 e2 e3
a×b
a b u1 u2 u3
b
(2.8a)
v1 v2 v3
a
(u2v3 u3v2 )e1 (u3v1 u1v3 )e2 (u1v2 u2v1)e3
aicibses aibicses (ac)b (ab)c
即 a(bc) (ac)b(ab)c
(2.14)
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
F: 坐标变换
旧坐标系： O x1x2 x3 单位基矢量： (e1, e2 , e3)
新坐标系： O x1 x2 x3 单位基矢量： (e1, e2, e3 )
S a1x1 a2 x2 an xn
n
n
n
ai xi ajxj ak xk
i1
j1
k 1
显然，指标 i, j, k 与求和无关，可用任意字母代替。
为简化表达式，引入Einstein求和约定：每逢某个指
标在一项中重复一次，就表示对该指标求和，指标取
遍正数1，2，…，n。这样重复的指标称为哑标。
33
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
ei e j | ei || e j | cos(ei , e j ) cos(ei , e j ) ij
旧
新 e1
e 2
e 3
e1
11
12
13
e2
21
22
23
e3
31
32
33
33
S
aij xi xj
i1 j1
S aij xi xj
展开式（9项） S a11x1x1 a12 x1x2 a13x1x3 a21x2 x1 a22 x2 x2 a23x2 x3
三重求和（27项）
a31x1x1 a32 x1x2 a33x1x3
333
S
aijk xi xjxk aijk xi xjxk
i1 j1 k1
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
n
aibi xi 是违约的，求和时要保留求和号 aibi xi
B:自由指标
i1
例如
xi aij xj
指标 i 在方程的各项中只出现一次，称之为自由指 标。一个自由指标每次可取整数1,2,3, …, n，与哑 标一样，无特别说明总取n=3。于是，上式表示3个方 程的缩写：
a a a a aiai
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
D:置换符号 Permutation symbol
1, i, j, k为顺序排列 ei jk 1, i, j, k为逆序排列
(2.5)
0, i, j, k有两个相等
例如：
e123 e231 e312 1 e321 e213 e132 1 可见e：111 e121 e232 0
eijk eijk 2ii 6
二重叉积
(2.13)
a (b c) aiei (bje j ckek ) aiei (bjcke ejkt t )
aibjcke ejkt itses aibjcke jkteistes aibjck ( ji ks jski)es
弹性力学 主讲 邹祖军 第二章 张量基础知识
第二章 张量基础知识
§2-1
§2-2 §2-3 §2-4 §2-5
§2-6 §2-7
坐标系和矢量
张量的定义 张量代数 二阶张量 对称二阶张量的谱表示
张量分析 积分定理
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
张量:简洁、统一、物理意义明确、与坐标系的选择无关 §2-1 坐标系和矢量
于是
or
or
S ai xi ajxj ak xk
n 表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。
例题
ai xi a1x1 a2 x2 a3x3
第二章 张量基础知识§2-1 坐标系和矢量
bjj b11 b22 b33
双重求和
cmem c1e1 c2e2 c3e3
il im in eijk elmn jl jm jn
(2.10)
kl km kn
证明 (1).i,j,k有两个相同时，上式成立，同理， l,m,n有两个相同时，上式也成立
1 0 0 11 12 13
(2).不同时,由 下式交换行
0
1
0 21
22
23 e123e123
如图2.1，三维空间直角坐标系Oxyz,
x1, x2 , x3
x, y, z
x3
P点坐标（x,y,z)
(x1, x2 , x3 )
P
r
e3
o
x1
e1
e2
P点坐标可记为：xi (i 1,2,3) x2 xi 正方向的单位基矢量 ei