收益现值 [p (t)d t]e r t p (t)e r td t
总 现 值 T p(t)ertdt. 0
对于将来值 , pt dt 在 T t 年后获得利息 , 从而在 [t , t dt ]内
收益流的将来值 [ p ( t) d t] e r ( T t) p ( t) e r ( T t) d t ，
第八节 定积分的经济应用
一、由边际函数求原函数 二、由变化率求总量 三、收益流的现值和将来值
由第三章边际分析知, 对一已知经济 F(x) (如需 求函数 Q(P)、总成本函数 C(x) 、总收入函数 R(x) 和利润函数 L(x)等), 它的边际函数就是它 的导函数 F(x).
作为导数(微分)的逆运算, 若对已知的边际函数
Ca,bab1C(x)dx
例3 某工厂生产某商品在时刻 t的总产量的变
化率为 x't10 10t2 （单位∕小时）.
求 t 2 到 t 4 这两小时的总产量.
解
Q
4
x(t)dt
2
=24100＋12tdt
[1006t2]4 227. 2
例 4 已知某产品的边际成本为 C( x) 2x2 3x 2 （元/单位）求：
（1）生产前 6 个单位产品的可变成本； （2）若固定成本C(0) 6元，求前 6 个产品的平均 成本； （3）求生产第 10 个到第 15 个单位产品时的平均 成本.
解 （1）生产前6个单位产品，即从生产第1个 到第6个单位的可变成本为
C1,606(2x23x2)dx 32x323x22x60102
一、由边际函数求原函数
例1 固已定知成边本际为成1本00为0,求C总(x)成本7 函2数5x ．,
解
x
C(x)C(0) C(x)dx
0
x 25
10000(7
)dx x
10 0 [7x 050x]0 x
1007x050x
例2 已知对某种商品的需求量是价格 P的函数， 且边际需求 Q '(P ) 4,该商品的最大需求量为80 (即 P＝0时，Q80),求需求量与价格的函数关系.
故，总的将来值 T p(t)er(Tt)dt. 0
例6 假设以年连续复利率 0.1计息 ,求收益 流量为100元/年的收益流在20年内的现 值和将来值.
解 现值 20100e0.1tdt 0 100(10e2)
864.66；
将来值 20100e0.1(20t)dt 0 1000e2(1e2)
考虑从现在 t 开 0到始 T年后这一时间段
将来值和.以 现连 值续复利率计息 分析 在区间[0,T ]内任取一小区间 [t, t dt], 在 [t, t dt]内所获得的金额近似为 pt dt ,从 t 0 开始, pt dt 这一金额是在 t 年后的将来 获得 ,从而在 [t, t dt]内
0
r
即 收 入 的 资 本 b(1价 e值 rT)为 a。
r
当收益流量是无 ，限 即 T期 时 时，
vT l im b r(1erT )ab rA
练习题
一、已知边际成本为 C(x) 30 4x, 边际收益为 R(x) 60 2x,求最大利润（设成本0为）。
二、某地区居民购买箱 冰的消费支出W (x)的变化 率是居民总收入x的函数，W (x) 1 ， 200 x 当居民收入由４亿元增 加到９亿元时，购买 冰箱的消费支出增加少 多？
解 由边际需求的不定积分公式，可得需求量
Q(P)Q '(P)dP ＝4dP 4 P C(C 为积分常数).
代入Q(P)P080 C80, 于是需求量与价 格的函数关系是 Q (P ) 4 P 80
本例也可由变上限的定积分公式直接求得
Q (P ) 0 P Q '(t) d Q t(0 ) 0 P(4)dP 80 4 P 8.0
成本.
解 （3） C10,15 11 05 1(2x23x2)dx
32x3
3x2 2
15
2x9
156 (元 0)
C1,015C16,015165620（ 60元）
例 5 设某产品每天生产 x单位时，边际成本为
C(x) 4x（元/单位），其固定成本为 10 元，总收入
R(x)的变化率也是产量 x的函数:R(x) 60 2x
若t年后要得到B元人民币，则现在需要存入 银行多少金额（现值）
P Bert 收益流的将来值 将收益流存入银行并加上利 息之后的存款值。
收益流的现值 收益流的现值是这样一笔款项， 若将它存入银行，将来从收益流中获得的总收 益，与包括利息在内的银行存款值有相同的价值。
若有一笔收益流 流量 的p为 收 t元 益/年,
求每天生产多少单位产品时，总利润 L( x)最大？
解
C (x)C 0C v10
2x210
x4xdx102x2
0
x 0
R(x) 0x(602x)dx60xx2
L (x ) R (x ) C (x )(6x 0 x2)(2x21)0
3x26x 010
由 L (x ) 6 0 6 x 0得 x10 且 L (x)60
例 4 已知某产品的边际成本为 C( x) 2x2 3x 2 （元/单位）求：
（1）生产前 6 个单位产品的可变成本； （2）若固定成本C(0) 6元，求前 6 个产品的平均 成本； （3）求生产第 10 个到第 15 个单位产品时的平均 成本.
解（2） C(6) 0 6(2x23x2)d x6
二、由变化率求总量
利用微分学的思想可以求总量的变化率（边 际变化）反. 过来，若已知总量的变化率（边际变 化），也可以利用积分学的思想来求总量.
常用的几个求总量的积分公式：
（1）已知某产品在时刻t 的总产量的变化率为 f (t)，则
从时刻t1到时刻t2的总产量为
Q t2 f(t)dt t1
（2）已知边际成本C( x)是产品的产量 x 的函数，则生 产第 a 个单位产品到第b 个单位产品的可变成本为
F(x)求不定积分, 则可求得原经济函数
F(x)F(x)dx
其中, 积分常数 C可由经济函数的具体条件确定.
也可由 NL公式
x
F (t)d tF (x)F (0),
0
求得原经济函数
x
F (x) F (t)d tF (0)
0
由 NL公式, 可求出原经济函数从 a到 b的变
动值 (或增量)
b
10 62 108
C(6)1081（ 8 元 /单位） 6
例 4 已知某产品的边际成本为 C( x) 2x2 3x 2 （元/单位）求：
（1）生产前 6 个单位产品的可变成本；
（2）若固定成本C(0) 6元，求前 6 个产品的平均 成本；
（3）求生产第 10 个到第 15 个单位产品时的平均
所以每天生产10个单位产品可获得最大利润， 最大利润为 L(10)29（ 0 元）。
三、收益流的现值和将来值
收益流 收益若是连续地获得，则收益可被看 作是一种随时间连续变化的收益流。
收益流量 收益流对时间的变化率。
若以连续复利r计息，一笔P元人民币从现 在存入银行，t年后的价值（将来值）
B Pert
63.809 .6
四、 小结
•由边际函数求原函数 •由变化率求总量 •收益流的现值和将来值
思考题
设有一项计划现在(即 t 0 )需一项投入 a (元)，可
获得一项在 [0,T ] 中的常数收益流量 b (元)，若连续
复利的利率为 r ，求收益的资本价值．
思考题解答
vTbertdtab(1erT)a
一、75; 二、0.01.
练习题答案