则 m < n。
A B u (r ) m n r r
距离增大，排斥势要比吸引势更快地减小。排斥作 用是短程作用。
很远时：相互作用力为零；
逐渐靠近时：相互作用力 逐渐增大； 当r ＝rm 时：内聚的合力 达到最大（rm是两原子分子 开始解体的临界距离）； 距离再小时：排斥作用逐 渐增强； 当r ＝r0 时：排斥力迅速 增大到与吸引力相等，合力 为零，系统稳定； 若距离继续减小：排斥作 用将占主导地位。
两粒子间的距离称为平衡距离（r0） ： 作用力为零 = 吸引力和排斥力大小相等 = 互作用势能最小。
此时的状态称为稳定状态。晶体都处于这种稳定状态，即晶 体中的原子都处于平衡位置。 平衡距离为:
nB r0 mA
1 nm
极小值的条件：
df dr
即：
0
r r0
m(m 1) A n(n 1) B m(m 1) A m n 0 m 2 n 2 m 2 r0 r0 r0 m 1
两个相互平行的电偶极子间的库仑势能：
l1 q l2 q
+q
+q
r 库仑势能为：
两个相互平行的电偶极子的图示
1 q2 q2 q2 q2 u (r ) ( ) 40 r r l2 l1 r l1 r l2
进一步简化为：
u (r ) p1 p2 20 r 3
粒子间作用势能和作用力随距离的变化关系
二、晶体的结合能
结合能的认识 ：相互作用势能的主要部分是于最近邻 原子的相互作用势。自由离子结合成晶体过程中释放出 的能量，或者把晶体拆散成一个个自由离子所提供的能 量，称为晶体的结合能。 固体结构的稳定意味着：晶体的能量比构成晶体的粒 子处在自由状态时的能量总和低。 晶体的结合能Eb（晶体的总相互作用能）：
V0是平衡时的体积。
将P在平衡点附近展为级数：
2U U U V . P ( )V0 2 V V V V
0
2U U U V . P ( )V0 2 V V V V
0
平衡点时晶体势能最低，第一项为零。对于微小的形变，则有：
晶体在绝对零 度时的总能量 组成晶体的N个自 由原子能量的总和
Eb ＝ E－Ea （负值） 注：Eb的绝对值是把晶体分离成自由原子所需要的能量。
总相互作用能与结合能： N个原子组成的晶体的总相互作用能：
说明：
1 N N U u (rij ) 2 i j , j i
第i与第j个原子间 的相互作用能
证明体积弹性模量为

r
m


r
n
mn K U0 9V0
§2.4 分子力结合
一、极性分子结合
两个极性分子之间的作 用力是库仑力。这一作 用力有定向作用。有使 偶极矩排成一个方向的 趋势。 极性分子存在永久偶 极矩，每个极性分子就 是一个电偶极子，相距 较远的两个极性分子之 间的作用力是库仑力。 有定向作用。 极性分子的相互作用
1 P K V k V T
绝热近似下：晶体体积增大时对外做的功等于内能的 减少： PdV＝－dU 亦即 1 P U K V P k V T V 晶体平衡时的体弹性模量为：
2U K V0 V 2 V0
2U R 2
R0
作业
1、两原子间的相互作用势为
u (r )

r
2


r8
。
当两原子构成一稳定分子时，核间距为3 A , 解离能为 4eV, 求 和 。
2、有一晶体，平衡时体积为V0，原子间的相互作用势能 为U0，如果相距为r的两原子相互作用势为
u (r )
U ( r ) 0 r
可求出相邻原子间的平衡距离r0 ，即晶格常数。 总相互作用能的极小值U(r0)即是晶体的结合能。
三、压缩系数与体弹性模量
晶体的压缩系数：单位压强所引起的体积的相对变化， 即
1 V k V P T
V是晶体的体积，P为压强。
体弹性模量：压缩系数的倒数，即
2U P V 2
V V K V V0 0
真空中晶体体积与常压下晶体体积基本相等，可以将 P看作一个小量，则
P K V V0
晶格具有周期性，所以 V＝λR3 注：R是最近两原子的距离。如面心立方简单晶格
N 3 2a 2 R ,V a , 2 N / 2 4
（1）因子1/2是因u(rij)＝u(rji)，为避免重复计算而引入的；
（2）由于N很大，晶体表面原子的数目相对很少，可以 忽略表面原子与内部原子的差别，认为每个原子与所有其它 原了的相互作用是相同的。 （3）因此上式可以写成
N U 2
i ,i j
u( r
N
ij
)
总相互作用能与晶格常数： 当原子结合成稳定晶体时，相互作用能最小，由
则
U U dR 1 U V R dV 3R 2 R
U ( R) R
2U 1 ( ) V 4 V 2 0 92 R0
0
R0
2 R0 2U 9V 2 ( R 2 ) R0 R0 0
2U R 2
所以
2 R0 K 9V0
§2.3
结合力及结合能
一、结合力的共性
晶体中原子间的相互作用力可分为两类： 吸引力（长程力）和排斥力。 两原子间的相互作用势可表示为：
吸引势
排斥势
A B u (r ) m n r为两原子间的距离，A、B、m、 r r
n都为大于零的常数。
两粒子间的作用力：
du mA nB f (r ) m 1 n 1 dr r r
p1、p2为两偶极子偶极矩的大小： p1 = ql1，p2 = ql2
极性分子间的吸引势与r3成反比
Hale Waihona Puke 同的极性分子有p = ql，l1 = l2 = l
u (r )