扩散现象
由气体分子运动论可知，单位时间内分子碰撞的次 数是巨大的。在通常条件下，每秒钟每升体积内的 碰撞次数高达1032次以上，说明分子每时每刻都在 不停歇地作无规则的运动。分子的这种运动称为布 朗运动。
❖两种不同物质通过分子运动而相互渗透的现象 称为分子扩散。
扩散现象
❖扩散的动力可以是分子场中的浓度梯度、 温度梯度、压力梯度或其它作用力存在。 相应的扩散有浓度扩散、温度扩散、压力 扩散或强制扩散等。
qx
D c x
式中：qx 为污染物的质量通量，其量纲为[ML-2T-1]，D为分子扩 散系数，其量纲为[L2T-1]。 分子扩散系数随溶质与溶液种类和温
度、压力而变化。
费克第一扩散定律
❖ 下面给出推导：
设有两个假想的高宽均为1，长度为△X 的盒子分别装着物质M1和Mr。
费克第一扩散定律
直角坐标系中，分子扩散的费克定律表示为：
1）、一维扩散
由于受管壁限制，且染液薄片充满了整个管断面， 所以染液只会沿长度方向扩散。
令染液投入点为坐标原点，建立坐标系。
dX
O
X
扩散方程为：
c t
D
2c x2
定解条件：
c(x,0)M(x)
c(x,t)0,当x 时
式中：C(x,t)为水管中t 时刻x断面染液的平均浓度； M是瞬时投放在单位面积上的质量。
c(x,t)dxM
代入可得：
c(x,t)
x2
M e 4Dt
4Dt
A0 1
瞬时平面源一维扩散方程解析解
c(x,t)
M
x2
e 4Dt
4Dt
式中：M为单位面积上扩散质的质量，g/m2； D为分子扩散系数，m2/s。
环境水力学
第二章 分子扩散
第二章 分子扩散
第一节 分子扩散的费克定律 第二节 一维扩散方程的基本解 第三节 若干定解条件下分子扩散方程的解析解 第四节 随流扩散
第一节 分子扩散的费克定律 什么叫扩散现象？扩散遵循什么定律？
1、扩散现象
❖扩散是由物理量梯度引起的使该物理量平均化 的物质迁移现象。污染物质量由于分子无规则 运动从高浓度区到低浓度区的净流动过程称为 分子扩散，它是物质质量输移的方式之一。
分子运动不仅可以传递质量，也同样可以 传递动量、能量、热量和涡通量等。
2、费克第一扩散定律
T·Graham曾经对气体的扩散做了大量的研究工作。 A.Fick(菲克)在Graham工作的基础上，设计出在液体 里量测污染物分子扩散的装置并进行了大量的研究工作， 于1855年发表了以试验为基础的分子扩散第一定律：
1 2 t
4 M Dft4 M D ft2 1 t
x 4 Dt
❖ 将上述结果代入一维扩散方程中
c t
D
2c x 2
❖ 可得： ❖ 即：
d2 f
d2
2ddf2f
0
二阶线性齐次常微分方程
ddddf 2f 0
df 2f Const d
❖ 其特解由 df 2f 0
d
可得： f ()A0e2
对于保守物质，任何时刻分布在扩散空间内的物质总 质量保持不变，即
(x)是脉冲函数Dirac函数,
具有性质
(x)
0
(x)dx 1
x
因此有：
O
c(x,0)d x M(x)d xM
于是，一维扩散定解问题归结为：
c t
D
2c x2
c(x,0)M(x)
c(x,t)0,当x 时
求解方法之一：
❖ 量纲分析法
因为任意时刻在x方向某一点的浓度C必定与 投放点质量M、扩散系数D、以及坐标位置x、 时间t有关。一维问题中， C的量纲是[ML-3]， 该量纲恰好是 M 的量纲。可设
ct D(x2c2 y2c2 z2c2)
❖ 方程含义：方程左边为时变项；方程右端 为分子扩散项。
❖ 扩散方程在本质上是质量守恒定律在扩散 问题上的体现。
第二节 一维扩散方程的基本解
一、静止水环境中的扩散
❖1、集中瞬时源
1）一维分子扩散 2）讨论
❖ 计算条件：
静止流体： u=v=w=0
守恒的中和物质 不可压缩性
保守物质量对时间的变化率为
c( x, t ) dx
y
t
q
设x处的通量为 O
q(x,t)q(x,t) dx z
x
x
1
1 dx
q q dx x
x+dx x
在x处和x+dx处的通量之差为
q(x, t) dx x
由质量守恒定律
c(x,t)dxq(x,t)dx
qx
D c x
qy
D c y
由于物质扩散方 向与浓度梯度增加的 方向相反，加负号是 为让污染物的质量通
qz
Dc z
矢量表示：
q Dc
量始终为正。
i
j
k
为哈密尔顿算子
x y z
3、费克第二扩散定律
采用欧拉研究方法，利用质量守恒原理可推导出费 克扩散第二定律
c(qx qy qz) t x y z
t
x
可得： q c 0
x t
考虑到 q D c
x
故得一维扩散方程。
c D 2c
t
x 2
y
q
O
z
x
dx
1
1
q
q x
dx
x+dx x
❖ 一维扩散方程
c t
D
2c x 2
从数学上看，它是一个二阶线性抛物型偏微分 方程。
将上述结果推广到三维中去，可得（直角坐标 系中）：
c 2c 2c 2c t D(x2 y2 z2)
式中：qx 为污染物的质量通量，其量纲为[ML-2T-1]， D为分子扩散系数，其量纲为[L2T-1]。 下面给出推导。
推导：
❖ 如图表示一维输移的控制体，两个具有单 位面积的平行面与x轴垂直，两者相距dx，
设c(x,t)是 t 时刻位于x 点上物质浓度，则
c(x,t)dx为该六面体内的污染物质量，该微元
1、集中瞬时源
❖ 在原点瞬时集中投放质量为M的扩散质。
分别讨论：1）、一维扩散 2）、二维扩散 3）、三维扩散
1）、一维扩散
主要针对面污染源，只考虑沿某一方向（X方向） 上的浓度分布。 设想有一根直的无限长均匀断面水管，截面 积为一个单位，管内装有静止洁净的水体， 在管子中间垂直于管轴瞬时集中投放质量为M 的红色染液。染液厚度很薄，红色染液在水 管中的扩散为分子扩散。
Dt
C (x ,t)Mf( x)Mf() 4Dt4 Dt 4Dt
令无量纲变量
x
4 Dt
❖ 于是：C
x
M f 4Dtx
M f
4Dt
1 4Dt
2 xC 2 x( C x)
M ( f 4 1 D)t 4Dt x
M 2 f 1
4Dt2 4Dt
❖ 由于：
C f ( t t
4 M D) t 4 M D ft t