实验六 双三次Bezier 曲面一、实验目的根据Bizer 曲面的基础知识和数学基础，对其算法进行程序设计，验证算法的正确性，并通过程序结果加深对常用曲面数学模型的理解。

二、实验任务（2学时）Bezier 曲面算法及其程序设计。

三、实验内容和实验步骤1、算法描述Bezier 曲面是由Bezier 曲线拓广而来，以两组正交的Bezier 曲线控制点构造空间网格来生成曲面。

m×n 次张量积形式的 Bezier 曲面的定义如下(参照教材P200式7-20)： （u ，v ）∈〔0，1〕×〔0，1〕双三次Bezier 曲面定义如下(参照教材P201式7-21)：（u ，v ）∈〔0，1〕×〔0，1〕展开上式，有代入得到： )()(),(m 0i ,,0,∑∑===v B u B P v u p n j m i nj j i 33,,3,3i 00(,)()() i j i j j p u v P B u B v ===∑∑0,30,00,10,20,31,31,01,11,21,30,31,32,33,32,02,12,22,32,33,03,13,23,33,3()()(,)()()()()()()B v P P P P B v P P P P p u v B u B u B u B u P P P P B v P P P P B v ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⋅⋅⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦320,3321,3322,333,3()331()363()33()B u u u u B u u u u B u u u B u u ⎧=-+-+⎪=-+⎪⎨=-+⎪⎪=⎩320,3321,3322,333,3()331()363()33()B v v v v B v v v v B v v vB v v ⎧=-+-+⎪=-+⎪⎨=-+⎪⎪=⎩0,00,10,20,31,01,11,21,3322,02,12,22,33,03,13,23,313313630(,)133001000P P P P P P P P p u v u u u P P P P P P P P --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎡⎤=⋅⋅⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦3213313630330010001v v v ⎡⎤--⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⋅⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦令则有： 生成曲面时可以通过先固定u, 变化v 得到一簇Bezier 曲线；然后固定v ，变化u 得到另一簇Bezier 曲线，两簇曲线交织生成Bezier 曲面。

2、要求：根据给定的16个控制顶点：P00(200,20,0),P01(150,0,100),P02(50,-130,100),P03(0,-250,50)；P10(150,100,100),P11(100,30,100),P12(50,-40,100),P13(0,-110,100)；P20(140,280,90),P21(80,110,120),P22(30,30,130),P23(-50,-100,150)；P30(150,350,30),P31(50,200,150),P32(0,50,200),P33(-70,0,100)；使用斜等测投影绘制双三次Bizer 网格曲面。

3、程序实现步骤：（工程名:BezierCurve2）步骤1：创建“BezierCurve2”工程文件；步骤2：创建类class ：“ P2”及“P3”；注意：P2 为二维点，含有两个成员变量“x ，y”，P3含有三个成员变量“x ，y ，z”。

单击右键-→“new class”-→选择类型“Generic Class”名称为“ P2”及“P3”，添加成员变量（添加至“class EACH_ENTRY { public:”之内）：class P2{public:P2();virtual ~P2(); double x;double y;};class P3{public:P3();virtual ~P3();321U u u u ⎡⎤=⎣⎦321V v v v ⎡⎤=⎣⎦1331363033001000be M --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦0,00,10,20,31,01,11,21,32,02,12,22,33,03,13,23,3P P P P P P P P P P P P P P P P P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(,)T T be be p u v UM PM V=double x;double y;double z;};步骤3：包含头文件并定义顶点对象。

1）在“class CBezierCurve2View : public Cview……”之前添加代码“#include "P3.h"”及“#include "P2.h"”；#include "P3.h"//包含三维坐标点类#include "P2.h"//包含二维坐标点类2）在“class CBezierCurve2View : public CView……”内添加代码：P3 P3[4][4];//三维顶点P2 P2[4][4];//二维顶点步骤4：添加成员函数。

1）C m n的函数实现，定义成员函数，命名为Multiply_n。

方法及过程参照“实验六曲线及曲面生成算法（一）”；2）伯恩斯坦多项式B m,n(t)的函数实现，添加CBezierCurve2View::bernstein。

方法及过程参照“实验六曲线及曲面生成算法（一）”；步骤5：在OnDraw（）中添加代码：注意：添加头文件#include "math.h"//数学头文件#define Round(d) int(floor(d+0.5))//四舍五入宏定义上述两行代码添加至：类CBezierCurve2View的所有成员函数代码之前。

1）窗口坐标变换，设置客户区中心为原点CBezierCurve2Doc* pDoc = GetDocument();ASSERT_V ALID(pDoc);// TODO: add draw code for native data hereCRect rect;//定义客户区矩形GetClientRect(&rect);//获得客户区的大小pDC->SetMapMode(MM_ANISOTROPIC);//pDC自定义坐标系pDC->SetWindowExt(rect.Width(),rect.Height());//设置窗口范围pDC->SetViewportExt(rect.Width(),-rect.Height());//设置视区范围,x轴水平向右，y 轴垂直向上pDC->SetViewportOrg(rect.Width()/2,rect.Height()/2);//客户区中心为原点rect.OffsetRect(-rect.Width()/2,-rect.Height()/2);2）初始化16个控制顶点P3[0][0].x=20; P3[0][0].y=0; P3[0][0].z=200;//P00P3[0][1].x=0; P3[0][1].y=100;P3[0][1].z=150;//P01P3[0][2].x=-130;P3[0][2].y=100;P3[0][2].z=50; //P02P3[0][3].x=-250;P3[0][3].y=50; P3[0][3].z=0; //P03P3[1][0].x=100; P3[1][0].y=100;P3[1][0].z=150;//P10P3[1][1].x=30; P3[1][1].y=100;P3[1][1].z=100;//p11P3[1][2].x=-40; P3[1][2].y=100;P3[1][2].z=50; //p12P3[1][3].x=-110;P3[1][3].y=100;P3[1][3].z=0; //p13P3[2][0].x=280; P3[2][0].y=90; P3[2][0].z=140;//P20P3[2][1].x=110; P3[2][1].y=120;P3[2][1].z=80; //P21P3[2][2].x=30; P3[2][2].y=130;P3[2][2].z=30; //P22P3[2][3].x=-100;P3[2][3].y=150;P3[2][3].z=-50;//P23P3[3][0].x=350; P3[3][0].y=30; P3[3][0].z=150;//P30P3[3][1].x=200; P3[3][1].y=150;P3[3][1].z=50; //P31P3[3][2].x=50; P3[3][2].y=200;P3[3][2].z=0; //P32P3[3][3].x=0; P3[3][3].y=100;P3[3][3].z=-70;//P333) 三维控制顶点投影（采用斜等测法）至二维点：for(int i=0;i<4;i++)for(int j=0;j<4;j++){P2[i][j].x=P3[i][j].x-P3[i][j].z/sqrt(2);P2[i][j].y=P3[i][j].y-P3[i][j].z/sqrt(2);}// 以上代码实现：从三维到二维的斜等测投影（参照教材P173：式6-42）4）绘制控制多边形CPen NewPen,*pOldPen;NewPen.CreatePen(PS_SOLID,3,RGB(0,0,0));pOldPen=pDC->SelectObject(&NewPen);for(int i1=0;i1<4;i1++){pDC->MoveTo(Round(P2[i1][0].x),Round(P2[i1][0].y));for(int j1=1;j1<4;j1++)pDC->LineTo(Round(P2[i1][j1].x),Round(P2[i1][j1].y));}for(int j2=0;j2<4;j2++){pDC->MoveTo(Round(P2[0][j2].x),Round(P2[0][j2].y));for(int i2=1;i2<4;i2++)pDC->LineTo(Round(P2[i2][j2].x),Round(P2[i2][j2].y));}pDC->SelectObject(pOldPen);NewPen.DeleteObject();// 以上代码绘制控制多边形5）控制顶点标注序号CString str;pDC->SetTextColor(RGB(0,0,255));for(int i3=0;i3<4;i3++){for(int j3=0;j3<4;j3++){str.Format("P%d,%d",i3,j3);pDC->TextOut(Round(P2[i3][j3].x+10),Round(P2[i3][j3].y+2),str);}}// 以上代码实现“控制顶点标注序号”6）“曲面”生成CPen PenRed(PS_SOLID,1,RGB(255,0,0));//定义红色笔pDC->SelectObject(&PenRed);//选择红色笔绘制曲面double dt1=0.01,dt2=0.01;double x,y,u,v;double BU03,BU13,BU23,BU33;double BV03,BV13,BV23,BV33;//U，V两个方向，三次曲面，共8个基函数for(u=0;u<=1;u=u+dt1)for(v=0;v<=1;v=v+dt2)//对每一个u，v从0~1循环1/dt2+1次后，//生成一条由1/dt2+1个点用直线串起来的“曲线”//u从0~1循环1/dt2+1次后，生成1/dt1+1条“曲线”{BU03 = bernstein(0,3,u);//计算B0,3（u）BV03 = bernstein(0,3,v);//计算B0,3（v）BU13 = bernstein(1,3,u);//计算B1,3（u）BV13 = bernstein(1,3,v);//计算B1,3（v）BU23 = bernstein(2,3,u);//计算B2,3（u）BV23 = bernstein(2,3,v);//计算B2,3（v）BU33 = bernstein(3,3,u);//计算B3,3（u）BV33 = bernstein(3,3,v);//计算B3,3（v）//严格按照教材P201页，式7-21，为了简单起见，没有使用复杂的循环x=(BU03*P2[0][0].x+BU13*P2[1][0].x+BU23*P2[2][0].x+BU33*P2[3][0].x)*BV03+ (BU03*P2[0][1].x+BU13*P2[1][1].x+BU23*P2[2][1].x+BU33*P2[3][1].x)*BV13+ (BU03*P2[0][2].x+BU13*P2[1][2].x+BU23*P2[2][2].x+BU33*P2[3][2].x)*BV23+ (BU03*P2[0][3].x+BU13*P2[1][3].x+BU23*P2[2][3].x+BU33*P2[3][3].x)*BV33;y=(BU03*P2[0][0].y+BU13*P2[1][0].y+BU23*P2[2][0].y+BU33*P2[3][0].y)*BV03+ (BU03*P2[0][1].x+BU13*P2[1][1].y+BU23*P2[2][1].y+BU33*P2[3][1].y)*BV13+ (BU03*P2[0][2].y+BU13*P2[1][2].y+BU23*P2[2][2].y+BU33*P2[3][2].y)*BV23+ (BU03*P2[0][3].y+BU13*P2[1][3].y+BU23*P2[2][3].y+BU33*P2[3][3].y)*BV33;if(v==0)pDC->MoveTo(Round(x),Round(y));elsepDC->LineTo(Round(x),Round(y));}//以上双重循环程序u=0、u=dt、u=2dt……u=1的共1/dt+1条“纵向”曲线段for(v=0;v<=1;v=v+dt2)for(u=0;u<=1;u=u+dt1){BU03 = bernstein(0,3,u);BV03 = bernstein(0,3,v);BU13 = bernstein(1,3,u);BV13 = bernstein(1,3,v);BU23 = bernstein(2,3,u);BV23 = bernstein(2,3,v);BU33 = bernstein(3,3,u);BV33 = bernstein(3,3,v);x=(BU03*P2[0][0].x+BU13*P2[1][0].x+BU23*P2[2][0].x+BU33*P2[3][0].x)*BV03+(BU03*P2[0][1].x+BU13*P2[1][1].x+BU23*P2[2][1].x+BU33*P2[3][1].x)*BV13+(BU03*P2[0][2].x+BU13*P2[1][2].x+BU23*P2[2][2].x+BU33*P2[3][2].x)*BV23+(BU03*P2[0][3].x+BU13*P2[1][3].x+BU23*P2[2][3].x+BU33*P2[3][3].x)*BV33;y=(BU03*P2[0][0].y+BU13*P2[1][0].y+BU23*P2[2][0].y+BU33*P2[3][0].y)*BV03+(BU03*P2[0][1].x+BU13*P2[1][1].y+BU23*P2[2][1].y+BU33*P2[3][1].y)*BV13+(BU03*P2[0][2].y+BU13*P2[1][2].y+BU23*P2[2][2].y+BU33*P2[3][2].y)*BV23+(BU03*P2[0][3].y+BU13*P2[1][3].y+BU23*P2[2][3].y+BU33*P2[3][3].y)*BV33;if(u==0)pDC->MoveTo(Round(x),Round(y));elsepDC->LineTo(Round(x),Round(y));}//此双重循环程序v=0、v=dt、v=2dt……v=1的共1/dt+1条“横向”曲线段//上述两批“纵向”及“横向”曲线段，犹如“织布”般“纵横交错”,dt取值越小，“布”越密实。