F n (i, j, k) F (ix, jy, kz, nt)
♫ 差分方程
1 (i 1/ 2, j, k)t
E n1 x
(i
1/
2,
j, k )
1
2 (i 1/ 2, j, k) (i 1/ 2, j, k)t
Exn (i
1/
2,
j, k )
(i
t 1/ 2,
j, k )
2 (i 1/ 2, j, k)
时域有限差分法 FDTD (Finite-Difference Time Domain)
♫ 概况 ♪ 1966年K.S.Yee提出的； ♪ 核心思想：把带时间变量的Maxwell旋度方程转化为差分形式，模拟出电 子脉冲和理想导体作用的时域响应； ♪ 是目前计算电磁学界最受关注，最时髦的算法，但还在发展完善之中 ♪ 基于FDTD的电磁场计算软件：XFDTD等
♫ 原理 ♪ 将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函 数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数 及其导数在单元各节点的数值插值函数来表达。从而使一个连续的无限自 由度问题变成离散的有限自由度问题。
♫ 特点 ♪ 近似性仅限于相对小的子域； ♪ 将函数定义在简单几何形状的单元域上，不考虑整个定 义域的复杂边界条件。
♫ 原理
麦克斯韦方程组
H
D t
J
E
B t
Jm
D E
本构关系式
B H J E
Jm m H
H z y
H y z
Ex t
Ex
H
x
z
H z x
Ey t
Ey
H y
x
H x y
Ez t
Ez
Ez y
Ey z
H x t
mHx
Ex
z
Ez x
H y t
mHy
E y x
♫ 关键要素 ♪ 差分格式 ♪ 解的稳定性 ♪ 吸收边界条件
♫ 特点 ♪ 广泛的应用性 ♪ 节约运算和存储空间 ♪ 适合并行计算 ♪ 计算程序的通用性 ♪ 简单直观，容易掌握
♫ 计算步骤 ♪ 采用一定的网格划分方式离散化场域； ♪ 对场内的偏微分方程及各种边界条件进行差分离散化处理，建立差分格式， 得到差分方程组； ♪ 结合选定的代数方程组的解法，编制程序，求边值问题的数值解。
n
v x', y' z' 11x', y' z' 2 2 x', y' z' n n x', y' z' i i x', y' z' i 1
♪ 将解带入电位函数中可得
n
Vj V x j, y j , z j
1
4
ii x', y' z'dv'
i 1
v'
R
Vj
n
i
i 1
Vn 1Vn1 2Vn2 nVnn
V1 V11
V1 j
或
Vj
Vj1
V jj
Vn Vn1
Vnj
V1n 1
V jn
j
Vnn n
有限元法
FEM (Finite Element Method )
♫ 概况 ♪ 起源于土木工程和航空工程中的弹性和结构分析问题的研究，它的发展可 以追溯到Alexander Hrennikoff(1941)和Richard Courant(1942)的工作。 ♪ 核心思想：由解给定的泊松方程化为求解泛函的极值问题。 ♪ 基于MOM的电磁场计算软件：HFSS、ANSYS。
1 4
i x', y' z' dv'i
vi
R ji
♪即
n
V j iV ji i 1
其中 V ji
1
4
i x', y' z'dv'i
vi
R ji
i 1,2, , n
V1 1V11 2V12 nV1n V2 1V21 2V22 nV2n
♪ 亦即 V j 1V j1 2V j2 nV jn
第四章 电磁算法及仿真
主要内容
♫ 电磁场数值算法 ♫ MOM、FEM、FDTD、MRTD ♫ 电磁仿真软件 ♫ Maxwell、CST、HFSS
电磁场数值算法
小波基
加权余量法
边界积分法 内域积分法（伽略金法）
边界元法
矩量法
有限元法
快速算法
麦克斯韦方程组
时域多分辨分析法
时域有限差分法
有限差分法
时域积分方程法
Ex y
H z t
mHz
♫ Yee元胞
♫ 计算方法
(i 1, j, k 1)
Ex
Hz
(i, j, k 1)
Ey
Ey (i 1, j 1, k 1)
(i, j 1, k 1) Ez
Ez
Hx
z(k)
(i, j, k) x(i)
Ey y( j)
Ez
Hy
(i 1, j 1, k)
Ex (i, j 1, k)
矩量法 MOM (Method of Moment)
♫ 概况 ♪ R.F.Harrington在20世纪60年代对矩量法求解电磁问题做了全面深入分析。 ♪ 核心思想：根据线性空间理论，N个线性方程的联立方程组、微分方程、 差分方程及积分方程均属于希尔伯特空间中的算子方程，它们可化作矩阵 方程予以求解，在求解过程中需计算广义矩量。 ♪ 基于MOM的电磁场计算软件：ADS的momentum，Sonnet等
1
1 (i 1/ 2, j, k)t 2 (i 1/ 2, j, k)
H
n1/ z
2
(i
1/
2,
j
1/
2,
k
)
H
n z
1/
2
(i
y
1/
2,
j
1/
2, k)
H
n 1/ 2 y
2)
H
n1/ y
2
(i
1/
2,
j, k
1/
2)
z
1 (i, j 1/ 2, k 1/ 2)t
♫ 特点 ♪ 频域矩量法比较成熟，时域矩量法有待发展； ♪ 矩阵规模的大小涉及到占用内存的多少，在很大程度上影响 了计算的速度。
♫ 理论
♪ 在静电学中，在由点的电荷分布在点产生的电位分布可以表示为
V x, y, z
1 4
v x', y', z'dv'
v'
R
♪ 设 v x', y' z' 的一个解是
若已知t1=t0=nt时刻空间各处E的值
计算t2=t1+t/2时刻空间各处H的值 计算t1=t2+nt/2时刻空间各处E的值
♪ Yee采用矩形网格进行空间离散，将每个节点进行编号，节 点的编号和其空间坐标位置按照下面的方式对应起来。
(i, j, k) (ix, jy, kz)
♪ 任意函数F(x, y, z, t)在时刻nΔt的值可以表示为
H
n1/ x
2
(i,
j
1/
2, k
1/
2)
1
2(i, j 1/ 2, k 1/ 2) (i, j 1/ 2, k 1/ 2)t