斐波那契数列摘要通过对斐波那契数列的定义、性质，以及它的属性的研究，介绍斐波那契数列在各个领域，包括数学界，自然界以及社会生活的应用，从而了解和研究斐波那契数列。

关键词斐波那契数列；定义和性质；应用Geometry - the arithmetic mean inequality and its application inalgebraAbstractGeometry - the arithmetic average of inequality is very important inequality，The most widely used in modern analytical mathematics，Many of the conclusions proved to be using this inequality on the basis of，Clever use of this inequality can make many of the problems is a beautiful solution，Brought a lot of convenience for our research work. The proof of this inequality and we are interested in.With the inequality continues to be proven and be used to prove the other conclusions，Lead to the use of inequality greatly advance. Geometry - the arithmetic average of the inequality in the extreme value, the conditional extremum seeking some iterative series limit, series convergence and inequality derivation of a large number of widely used，Apply this inequality can be many unexpected results，It also results of the use and development of a variety of transformation. On the geometry - the arithmetic mean inequality research and extension, our problem-solving ideas will be to develop mathematical thinking will be a corresponding increase in, which is of practical significance to explore some of the substantive issues.Key wordsGeometry - the arithmetic average of inequality ;Elementary Proof ;The use of inequality1 引言1.1 研究背景和意义公元1202年，意大利数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci ，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）撰写了一本《珠算原理》，他被人称作“比萨的列昂纳多”，他是第一个研究印度和阿拉伯数学的欧洲人，书中提到了一种数列：1、1、2、3、5、8、13、21······ 这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

这个数列引起了很多数学家的关注，后来人们称其为斐波那契数列。

书中的兔子问题，也被誉为经典的数列模型。

继兔子问题以后，斐波那契数列得到了蓬勃的发展。

至今为止，斐波那契数列不光在数学领域，在物理，化学甚至金融领域等各个领域都有了广泛的应用。

1.2 研究现状目前关于斐波那契数列的相关研究比较多，主要研究斐波那契数列的性质以及在各领域的应用，美国数学会1960年出版了《斐波那契数列》季刊，专门研究斐波那契数列。

1.3 本文的主要工作及内容本文通过查阅相关资料了解了斐波那契数列的定义以及性质，介绍斐波那契数列在各个领域的应用，从而解读斐波那契数列。

2 斐波那契数列的定义和性质2.1斐波那契数列的定义定义：一个数列，前两项都为1，从第三项起，每一项都是前两项之和，那么这个数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列。

表达式F 0=1,F 1=1,F n =F n-1+F n-2()n N +∈通项公式1122n nn F ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⎥=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例）比较有趣的是：一个完全是自然数的数列，通项公式竟然是用无理数表示的。

2.2 斐波那契数列通项公式的证明下面是其通项公式的几种证明方法： 方法一（利用特征方程）线性递推数列的特征方程为：21x x =+解得：112x += ，212x =则1122n n n F c x c x =+∵121F F ==∴112222112211c x c x c x c x =+⎧⎨=+⎩ 解得：1c =；2c =∴1122n nn F ⎡⎤⎛⎫⎛⎥=- ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦方法二（递推法）：设,,n N r s R +∀∈∃∈∍“1123()n n n n n F rF s F rF ---≥⇒-=-” 由12n n n F F F +++=有1r s +=，1rs =-因此当3n ≥时有：112()n n n n F rF s F rF ----=-1223()n n n n F rF s F rF -----=-2334()n n n n F rF s F rF -----=-……3221()F rF s F rF -=-将以上2n -个式子相乘得：2121()n n n F rF s F rF ---=-上式可化简得：11n n n F s rF --=+同时等式两边除以n s 得：111n n n n F F r s s s s --=+，令n n n F T s =有：11nn rT T s s-=+ 则有：121n n rT T s s--=+；因此112()n n n n rT T T T s----=-所以：112n n n n T T r T T s ----=-，所以有数列{}1n n T T --为首项为21T T -，公比为rs的等比数列。

因此：1n n T T --=221()()n rT T s--又与11n n rT T s s-=+联立消去1n T -得：由121F F == ，nn n F T s=得：()n n n n r s T s r s -=-，又nn n F T s =得：n nn r s F r s-=-由1r s +=，1rs =-得：s =，t =综上所述：1122n nnF⎡⎤⎛⎫⎛⎥=-⎪⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎦方法三（黄金分割法）：因为251+,251-是方程012=--xx的两根（其中11x=黄金分割比）。

12=--xx得到12+=xx,再左右同时乘以n x即得到：nnn xxx11121+=++①nnn xxx21222+=++②由①,②容易得到:2121211211212221xxxxxxxxxxxx nnnnnn--+--=--++++现在我们令1212n nnx xFx x-=-得：n nnF⎡⎤⎥=-⎥⎝⎭⎝⎭⎦其实斐波那契数列通项公式的证明有很多种，本文只是介绍了其中的三种，下面我们来研究斐波那契数列有那些性质。

2.3斐波那契数列的性质及其证明性质一、若数列{}nF为斐波那契数列，则1lim nnnFF+→∞=为黄金分割比。

证明：我们记：112x+=，212x=则有1111221211212()n n nnn n n nnF x x x x xxF x x x x+++--=-==--因此，我们分别讨论n为奇数、偶数的两种情形，因为2nx有符号之别；ⅰ）当n21nxx⎫<=⎪⎭所以0ε∀>，取21logx xN=n N>时有：1nnFFε+<即1lim nnnFF+→∞=。

这正好说明n为奇数时成立，下面我们证明n为偶数时。

ⅱ）当n22111)1)nnnx xx x⎛⎫<= ⎪⎝⎭所以0ε∀>，取21log x x N =，则n N >时有：1n n F F ε+<即11lim2n n nF F +→∞+=。

综上所述有11lim2n n nF F +→∞=结论成立。

这个结论的成立，让我们看见斐波那契数列与这个最完美和谐的黄金数有了联系。

3斐波那契数列的应用3.1斐波那契数列在自然界的体现斐波那契数列又称为“兔子数列”，是因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的。

兔子在出生两月以后，就会有繁殖能力，正常情况下一对兔子每个月就会生一对兔子，假设没有兔子死亡，那么一年以后可以繁殖多少兔子出来？我们来分析一下第一个月没有繁殖，就是一对兔子 第二个月则生下一对，总共就是两对三个月后，老兔子又生一对，小兔子没有繁殖，就是三队 四月后，老兔子生一对，小兔子生一对，那一共就是五对以此类推得出一组数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、114…… 此数列很明显，那就是前面相邻两项和，构成了第三项。

斐波那契数列在自然界有很多体现，比如树木的生长。

一个树木在一年后长出一个新枝，休息一年后再长出一个新枝，以后每个树枝都遵循这样的规律，于是第一年只有一个主干，第二年有两个枝，第三年三个，第四年五个，以此类推，便构成了斐波那契数列。

其次，有很多花瓣也都遵循斐波那契数列,比如：雏菊，延龄草，野玫瑰，大波斯菊，金凤花，百合花，蝴蝶花，紫苑，南美血根草等等。

为什么这些花朵的花瓣数会与斐波那契数列如此巧合呢？或许这既是自然界长期进化的结果。

这似乎是植物排列种子的“优化”方式，它可以令种子疏密得当，不至于圆心处挤太多种子而在圆周处却又稀稀拉拉。

叶子的生长也同样如此，每片叶子从轴附近生长，每片叶子和前一片的角度应该是222.5度，它便是黄金分割比的倒数。

3 .3斐波那契数列在数学方面的应用1 排列组合有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第10级台阶有几种不同的走法？这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法…… 1,2,3,5,8,13,21……所以，登上10级台阶总共有89种登法。