3
3.3 切割体的投影
3.3.1 平面切割体的投影
（2）棱面法——面面交线法
将平面立体上参与相交的各棱面， 与截平面求交线，这些交线即围成所 求的平面立体截交线。
3.3 切割体的投影
3.3.1 平面切割体的投影
作图步骤：
1）空间分析及投影分析 a、截平面与立体的相对位置——确定截交线的形状 b、截平面，立体表面与投影面的相对位置——确定截交线的投影特性
PV2
6′ (7′) 7 ′′
例3-8：求作被截五棱柱的三面投影图
4′ (5′) 2′ ( 3′)
PV1
1′
5′′ 3 ′′
6′′
4′′ 2′′ 1′′
3 7(5)
1
2
6(4)
3.3 切割体的投影
3.3.2 曲面切割体的投影
截交线：一般为封闭的平面曲线，特殊情况为直线。 其形状取决于曲面立体的几何特征，以及截平面与曲面立体的相对位置。
c’ （2）绘出圆柱的顶面和底面。
（3）画出正面转向轮廓线和侧面转向轮廓线。
Z
a1’ c1’(d1’) d(d1)
a(a1) c(c1)
d1’
b1’
a1”(b1”) c1’’
c’d’ b’
V a’
D
A
d” B
a”b”
c”W
C
b(b1)
圆柱的投影
正面转向轮廓线 a1’
X
c1’d1’ A1 d(d1)
da11””(b1)”c1” C1b(b1)
曲面上可见与不可见的分界线称为回转面对该投影面的转向轮 廓线，在其他投影面不应画出。
圆柱体的投影
圆柱表面由圆柱面和上下两底面所组成。圆柱面是由一直母线绕与之 平行的轴线回转而成。圆柱上任意一条平行于轴线的直母线称之为素线。
3.2 曲面立体的投影
Z如图所示，圆柱的轴线Va’垂直于H面，其上下底圆为
构成：
两个水平面 五个铅垂面
3.1 平面立体的投影
Z
X 正五棱柱投影图
O YW
YH
3.1 平面立体的投影
如果点、线所在表面的 投影可见，那么点、线的同 面投影可见，否则不可见。
Z
m′
例 3-1：已知五棱柱棱面上点
M的正面投影m' ，求作另外
X
O
两投影m，m ''。
m〞
YW
（m）
YH
3.1 平面立体的投影
个投影，并把ABC顺序连
接起来。
X
b’ d’
a’
Z
c’
（c′′） （b′′）
d′′
（a′′）
O
YW
(c)
（a） (d)
(b)
YH
3.2 曲面立体的投影
圆锥体
圆锥体是由圆锥面和底面组成。
圆锥面是由直线SA(母线)绕与它相交的轴线 OO1旋转而成。S 称为锥顶，圆锥面上任意一条 与轴线斜交的直母线称为称为圆锥面的素线。
B
3.1 平面立体的投影 S
D
A
（N） M
E
B
s
s
m
d
e'
a
b
C
a
d
s me
b
m〞
e'
c a(c) b
c
3.1 平面立体的投影 S
（N） M
A
B
s
s
（n）
m
n
a
Ca
b
n s b
c a(c)
b
c
3.1 平面立体的投影
Z
s’
k’
a’
X
2’ c’
a
s
2k
c
b’ a”(b”)
b
YH
已知:三棱锥棱面SAC上点K 的正面 投影k,求作另外两面投影。 s”
正垂线 侧垂线
复习
已知直线AB的水平投影ab和A点的正面投影a´，并知AB对H面的倾角 α=30°，B点高于A点，求AB的正面投影a´b´：
复习
两直线的相对位置： 两直线平行：空间两直线平行，则其各同名投影必相互平行 （一般位置直线） 两直线相交：交点的投影必符合空间一点的投影规律 两直线交叉： “交点”不符合空间一个点的投影规律 两直线垂直（直角投影定理）
截交线的实质——截平面与立体表面上一系列共有点
3.3 切割体的投影
3.3.1 平面切割体的投影
作图关键：是正确画出截交线的投影 作图方法：
（1）棱线法——线面交点法
将平面立体上参与相交的各条 棱线，与截平面求交点，并将位于 立体同一棱面上的两交点依次连接 起来，即为所求平面立体的截交线。
6 1
2
5 4
作图方法：求截平面与回转体表面的共有点。
作图步骤：（1）空间及投影分析 ——确定截交线的形状 ——明确截交线的投影特性
（2）画出截交线的投影 先找特殊点，再补充中间点 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可见性。
3.3 切割体的投影
平面截切圆柱
截平面平行于轴线
截平面倾斜于轴线
3.3 切割体的投影
3′
4′ 5′
1′
2′
3 14
PH1 52
3〃 4〃(5〃) 1〃(2〃)
3.3 切割体的投影
平面截切圆球
球被平面切割后，截交线的空间形状总是圆。
3.3 切割体的投影
例3-11:求平面P截切圆球所得的截交线的投影。
3.4 相贯体的投影
3.4 相贯体的投影
3.4 相贯体的投影
3.4 相贯体的投影
（3）棱面△SAC为侧垂面，其侧面投 影s''a''c''重影为一直线。
3.1 平面立体的投影
棱锥的三面视图画图步骤：
s
s
a
b c a(c)
b
a
c
s
b
3.1 平面立体的投影
例 3-2:已知三棱锥棱面SAB上点M 的正 面投影m和棱面SAC面上点N的水平投影n， 求作另外两面投影。
A
S
（N） M
C
3.1 平面立体的投影
（a）正三棱柱
（b）正四棱柱
（c）正五棱柱
（b）正六棱柱
（d）正三棱锥
（e）正四棱台
3.1 平面立体的投影
棱柱和棱锥由底面和侧面围成，立体的侧面称为棱面，棱面的交线 称为棱线，棱线的交点称为顶点。
平面立体的实质就是画出组成立体各表面的投影。看的见的棱线画 成实线，看不见的棱线画成虚线。
b(d)
a ( c )
d
A
O1
2
a 1
s
c
(3)
b
3.2 曲面立体的投影
素线法 纬圆法
S
●
M
s ●
1 (2) m
2 ●
s 1
m
● s
(2)
●
1
3.2 曲面立体的投影
圆球体
一条圆母线绕其直径回转而成。
O
O1
圆球的三视图
三个视图分别为三个和圆球 的直径相等的圆，它们分别是圆 球三个方向转向轮廓线的投影。
* 封闭性
相贯线一般是封闭的空间折线（通常由直线和 曲线组成）或空间曲线
* 共有性
相贯线是两立体表面的共有线 其作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共 有点的投影。
3.4 相贯体的投影
解题过程：
交线分析
（1）空间分析：
分析相交两立体的表面形状，形体大小及相对位置，预见交线的形状
3.2 曲面立体的投影
球面上取点
m′
m′′
例3-6：已知M点的正面投影
1′
2′
m′，求出其它两个投影。
过m′作平行于V面的正平 圆。
求正平圆的水平面投影。
求出m和m′′。
m
1
2
3.3 切割体的投影
切割体
平面切割体 曲面切割体
3.3 切割体的投影
截切：用一个平面与立体相交，截去立体的一部分
截平面
●
7
●
3
●6 ●2
●
5
3.3 切割体的投影
45°
椭圆的长、短轴随截 平面与圆柱轴线夹角 的变化而改变。
什么情况下 投影为圆呢？
截平面与 圆柱轴线 成45°时。
3.3 切割体的投影
平面截切圆锥
圆锥被切割后产生的截交 线有圆、椭圆、抛物线、 双曲线、三角形等五种情 况。
3.3 切割体的投影
例3-10:求正平面P截切圆 锥所得的截交线的投影。
空间两点位置关系： 坐标值大的点在左、前、上方，
坐标值小的点在右、后、下方
重影点
复习
空间直线
（1）一般位置直线的三个投影均倾斜于投影轴，
一般位置的直线
但与投影轴的夹角不反映直线与投影面的倾角。
（2）一般位置直线的三个投影均不反映实长。
投影面平行线
水平线 正平线
特殊位置的直线
侧平线 铅垂线
投影面垂直线
3.4 相贯体的投影
基本概念 相贯——两立体相交 相贯体——相交的两立体 相贯线——相交立体表面产生的交线
3.4 相贯体的投影
相贯的形式
平面体与平面体相贯
“平平相交”
求截交线问题
平面体与曲面体相贯
“平曲相交”
曲面体与曲面体相贯
“曲曲相交”
3.4 相贯体的投影
相贯线的主要性质
* 表面性
相贯线位于两立体的表面上。
2）画出截交线的投影， 运用线面交点法或面面交线法，分别求出截平面与棱面的交线，并连
接成多边形。 3）整理立体的棱线投影