() (4)基底向量可以是零向量. ( )
提示：(1)×.根据基底的概念可知，平面内不共线的向 量都可以作为该平面内向量的基底. (2)√.根据平面向量基本定理知，平面内任一向量都可 以由向量e1，e2线性表示. (3)×.当e1与e2共线时，结论不一定成立. (4)×.基底向量是不共线的，一定是非零向量.
2.已知AD是△ABC的BC边上的中线，若
uuur AB
=a，
uuur AC
=b，
则
uuur AD
=
(
)
A. 1 (a-b)
2
C.- 1 (a+b)
2
B.- 1 (a-b)
2
D. 1 (a+b)
2
【解析】选D.如图所示，
因为
uuur uuur uuur uuur AE＝AB＋AC＝2AD，
所以
uuur uuur DA与BC
共线；③
uuur uuur CA与DC
不共线；④
uuur OD
uuur OB
，则
uuur uuur OD与OB
共线.由平面内向量基底的概念知，只有不共
线的两个向量才能构成一个基底，故①③满足题意.
2.选A.选项B错误，这样的a只能与e1，e2在同一平面 内，不能是空间任一向量；选项C错误，在平面α内任 一向量都可表示为λ1e1+λ2e2的形式，故λ1e1+λ2e2一 定在平面α内；选项D错误，这样的λ1，λ2是唯一的， 而不是有无数对.
这个平行四边形所在平面的一个基底的是( ) A.①② B.①③ C.①④ D.③④
2.若使e1，e2是平面α内所有向量的一个基底，那么下 列命题正确的是 ( ) A.若实数λ1，λ2，使λ1e1+λ2e2=0，则λ1=λ2=0 B.空间任一向量a可以表示为a=λ1e1+λ2e2，其中λ1， λ2∈R
【素养小测】 1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平 面内所有向量的基底. ( )
(2)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e1+ λ2e2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量.
() (3)若ae1+be2=ce1+de2(a，b，c，d∈R)，则a=c，b=d.
uuur uuur uuur AC)＝rAB＋sAC，
44
所以 r＝3，s＝ 3，所以r+s ＝3 3＝0.
4
4
44
角度2 向量方程组法 【典例】已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a= 3e1-2e2，b=-2e1+e2，c=7e1-4e2，试用向量a和b表示c. 世纪金榜导学号
C.对实数λ1，λ2，λ1e1+λ2e2不一定在平面α内 D.对平面α中的任一向量a，使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1， λ2有无数对
【思维·引】1.根据基底的构成条件判断. 2.由平面向量基本定理内容理解判断.
【解析】1.选B.①
uuur uuur AD与AB
不共线；②
uuur DA
BuuCur ，则
6, 3，
解得x-y=3.
答案：3
类型二 用基底表示向量
角度1 线性运算法
【典例】(2019·洛阳高一检测)若D点在三角形ABC的
边BC上，且 CuuDur＝4DuuBur＝rAuuBur＋sAuuCur，则3r+s的值为
世纪金榜导学号( )
A. 16
B. 12
C. 8
D. 4
5
5
5
5
【思维·引】利用三角形或平行四边形法则.
6.3 平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理
平面向量基本定理 (1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.
(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做这一平面内所有向 量的一个基底.
【解析】选C.如图
因为
uuur uuur uuur uuur CD＝4DB＝rAB＋sAC，
所以
uuur CD＝
4
uuur CB＝
4
uuur (AB
uuur AC)
55
uuur uuur ＝rAB＋sAC，
所以 r＝4，s＝ 4，
5
5
所以 3r＋s＝12 4＝8 .
5 55
【素养·探】
本题考查平面向量基本定理与向量的线性运算，解答
时一般要结合图形分析，体现了直观想象的核心素养.
本例若改为“
uuur uuur uuur uuur CD＝3DB＝rAB＋sAC
”，其他条件不变，
求r+s的值.
【解析】因为
uuur uuur uuur uuur CD＝3DB＝rAB＋sAC，
所以
uuur CD＝
3
uuur CB＝
3
uuur (AB
【内化·悟】 两个向量能否作为一个基底的条件是什么？ 提示：两个向量不共线.
【类题·通】 对平面向量基本定理的理解 (1)在平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解 成两个向量的和，且这样的分解是唯一的，同一个非 零向量在不同的基底下的分解式是不同的，而零向量 的分解式是唯一的，即0=λ1e1+λ2e2，且λ1=λ2=0.
【思考】 (1)定理中的“不共线”能否去掉？
提示：不能，两个共线向量不能表示平面内的任一向 量，不能作为基底.
(2)平面内的每一个向量都能用e1，e2唯一表示吗？ 提示：是的，在平面内任一向量都可以表示为两个确 定的不共线的向量的和，且这样的表示是唯一的. (3)基底是固定不变的吗？ 提示：不是，平面内的基底不唯一，只要平面内的两 个向量不共线，就可以作为基底，它有无数个.
AuuDur＝1 (a+r OA
可用向量e1，e2表示为_____.
【解析】由图可知，OuuAur =4e1+3e2. 答案：OuuAur =4e1+3e2
类型一 平面向量基本定理的理解 【典例】 1.设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向 量组： ①AuuDur与AuuBur；②DuuAur与BuuCur；③CuuAur与DuuCur；④OuuDur与OuuBur，其中可作为
(2)对于固定基底而言，平面内任一确定的向量的分解 是唯一的.
【习练·破】 已知平面向量e1，e2是一个基底，实数x，y满足(3x4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，则x-y=________.
【解析】因为平面向量e1，e2是一个基底，所以向量
e1，e2不共线，所以
3x 2x
4y 3y