巧思妙解高考数学题[转载]1.（Ⅰ卷，文21）已知函数.（1）证明：曲线y= f（x）在x = 0处的切线过点（2，2）；（2）若f（x）在x = x0处取得极小值，x0∈（1，3），求a的取值范围.【参考答案】（1）.由得曲线y= f（x）在x = 0处的切线方程为.由此可知曲线y= f（x）在x= 0处的切线过点（2，2）.（2）由得①当 --1≤ a ≤-1时，没有极小值；②当或时，由得故x0 =x2 .由题设知，当时，不等式无解；当时，解不等式得.综合①②得的取值范围是.·巧思·①（1）中，利用“k切= k PQ”（P、Q为定点、切点），根据“两点决定一条直线”，可以避免求出切线方程，而“直截了当”地证明。

②（2）中，利用三次函数的中心对称性，先将f（x）化为“中心式”，求出对称中心（- a，c）；再利用x 3系数为正的三次函数的极大值点和极小值点分别在“中心点”的左、右，便得x0 ＞- a。

③将方程f ’（x0）= 0中含x0的项配平方，得到（x0+ a）2，“0＜x0+ a＜3 + a”便就有了作用；再将含a的项合并，得到2a（1-x0），“x0＞1”也就有了作用……如此，可避免解方程和分类讨论。

·妙解·（1）设P（2，2），切点Q（0，12a- 4）.k切= 3 - 6a = k PQ切线PQ.（2）f（x）可化为（x + a）3 + b（x + a）+c曲线y = f（x）关于点（- a，c）对称x0＞- a.题设f’（x0）=3（x02 + 2ax0+1 - 2a）= 00＜（x0+ a）2= a2 + 2a -1＜(3 + a）2，且2a（1- x0）= x02 + 1＞0（x0＞1）a＜0a∈（-2.5，--1）即为所求.【评注】①（1）中，证明过一已知点、斜率也已知的直线必过另一定点，不等于一定要先求出直线方程、再将坐标代入检验；解题要做到“能省则省”、能不“绕弯子”则尽量不“绕弯子”。

②（2）的求解过程，体现了命题的本意：为何函数式中x2的系数用3a而不用a？为何条件是“x0∈（1，3）”而不是“x0∈（0，3）”或“x0∈（2，3）”等？可谓“首尾呼应”、“问答相称”。

③二次函数的图像（抛物线）是轴对称图形，三次函数的图像（S形线）是中心对称图形；前者的定义域分为两个单调区间，后者的定义域为一个单调区间或分为三个单调区间；教师可补充介绍后者的性质。

2.（Ⅰ卷，理21、文22）已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为 -的直线与C交于A、B两点，点P满足.(1)证明：点P在C上；（2）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.【参考答案】(1)F（0，1），的方程为，代入并化简得.设，则由题意得所以点的坐标为.经验证点的坐标满足方程，故点在椭圆上.(2)由和题设知，，的垂直平分线的方程为.①设的中点为，则，的垂直平分线的方程为.②由①、②得、的交点为.，，，，，故，又，，所以，由此知、、、四点在以为圆心，为半径的圆上.·巧思·①将A、B的坐标设为对称式（关于中点D对称），可得两个对称的等式，由此又得两个简单的关系式；再利用“k DF = k DA”所得简单的关系式，便可求出点P的坐标及其它结果。

②利用平面几何中“圆的相交弦定理”的逆定理，证明“DA·DB=DP·DQ”，可得A、P、B、Q四点共圆.如此，可避免出现直线方程和复杂的代数式，而节省许多文字、减少不少篇幅。

③将（1）、（2）合并解答，则进一步节省许多文字、减少不少篇幅。

·妙解·（1）（2）F（1，0），设AB的中点D（a，b），A（a + m，b + n），B（a-m，b - n）（abm n≠0），则2（a +m）2 +(b + n）2 = 2，2（a- m）2 + (b -n）2 = 22am + bn = 0，2（a2 + m2）+（b2+ n2）= 2 ①，且k DF == k DA = -②，P、D、Q共线. ①②（a，b）=(，)，m2 =，n2=.P(-，-1)在椭圆C上，且DA·DB= m2 + n2==3（a2 + b2）= DP·DQ A、P、B、Q四点共圆.【评注】①“对称美”是数学美之一，设立“对称式”求解问题也是数学研究中常用手法之一。

②将初中数学知识与高中数学结合运用，可以“化难为易、化繁为简、化深为浅、化神为凡”。

3.（Ⅱ卷，文20）在平面直角坐标系x O y中，曲线与坐标轴的交点都在圆C上（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x–y +a = 0交于A，B两点，且，求a的值.【参考答案】（1）曲线与坐标轴的交点为（0，1），（3±2， 0）.故可设圆的圆心坐标为（3，t），则有32 +（t -1）2 =（2）2+ t 2.解得t=1，则圆的半径为= 3，所以圆的方程为（x-3）2 +（y -1）2 = 9.（2）设A（x1，y1）B（x2y2）其坐标满足方程组.消去y得到方程2x2 +（2a - 8）x + a2-2a + 1 = 0，由已知可得判别式△=56 - 16a - 4a2＞0.由韦达定理可得x1+x2 = 4 - a，x1x2= ，①由可得x1x2 + y1y2= 0，又y1 = x1 + a，y2 =x2 + a，所以2x1x2 + a（x1 + x2 ）+ a2 = 0，②由①②可得a = -1，满足△＞0，故a = -1.·巧思·①（1）中，利用“圆的切割线定理”的逆定理，便知y轴与圆相切，则圆心和半径立得。

②（2）中，将坐标轴平移，使圆心成为原点，则方程比较简单、运算比较方便。

③将点A、B的坐标设为对称式（关于中点对称并利用直线斜率为1的条件），可得两个对称的等式，由此又得两个简单的关系式，从而进一步方便了运算、缩减了过程。

·妙解·（1）曲线与坐标轴交于D（1，0），E（m，0），F（n，0）m +n= 6，mn =1OD2 = O E·OF切线OD圆心（3，1），半径r =3C：（x-3）2+（y -1）2= 9.（2）平移坐标轴，使C成为原点，则O（-3，-1），C：x2+ y 2= 9，直线：x–y+ 2+ a = 0.可设A（b + d，c+ d），B（b - d，c - d）（b + d）2+（c + d）2= 9，（b - d）2+（c- d）2= 9b2+ c2 +2d 2= 9 ①， b + c = 0 ②.（b+ d+3）（b–d +3）+（c+ d + 1）（c- d +1）= 0 ③.①②③2b = -1 a =（c +d）-（b +d）-2 = -2b -2 = - 1.【评注】①（1）中，平面几何知识的运用，使得解题的步骤“顺流直下”、“势如破竹”、“一气呵成”。

②（2）中，坐标轴的平移运动，使得圆的方程变为标准式而利于运算，其手法可广泛运用。

③关于中点（中间值）对称的式子的采用，使得一些相反的量可以抵消，其方法可以推广。

4.（Ⅱ卷，理20）在平面直角坐标系x O y中，已知点A(0，-1)，B点在直线y = -3上，M点满足∥，·=·，M点的轨迹为曲线C.（1）求C的方程；（2）P为C上的动点，l为C在P点处的切线，求O点到l距离的最小值.【参考答案】（1）设M(x，y)，由已知得B(x，-3)，A(0，-1).所以=（-x，-1-y），=(0，-3-y)，=(x，-2).再由题意可知（+）·= 0，即（-x， - 4 -2y）?(x， -2) = 0.所以曲线C的方程式为y=x-2.（2）设P(x，y)为曲线C：y=x-2上一点，因为y=x，所以的斜率为x.因此l为，即.则O点到的距离.又，所以当=0时取等号，所以O点到距离的最小值为2.·巧思·①（1）中，利用平面几何中“线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，得出“MA =MB”后，再利用抛物线的定义，便得曲线C的方程；如此，可以避免出现点和向量的坐标，而节省文字和篇幅。

②（2）中利用“O到l的距离最小时，OP ⊥l”，可以避免出现直线l的方程和繁分式，而节省文字和篇幅。

·妙解·（1）设AB的中点为D，题设（+）·= 2·= 0MD⊥ABMA = MBC是以点A为焦点、以直线y= -3为准线的抛物线：x2 = 4（y + 2）.（2）题设O到l的距离最小时，OP ⊥l题意OP ⊥l时，求d= OP的最小值.设P（x，y） d 2= x2+ y2 = 4（y + 2）+ y2=（y + 2）2+ 4≥4d min = 2.（此时P（0，-2），l：y =-2）【评注】①（1）的解答的启发：利用定义（图形的定义、关系的定义等）解题虽然是常用方法，但有时给出的条件并非明显的“定义式”，这就需要将条件进行转化，使之符合某个定义。

②（2）的解答进一步展现了“转化”的思想：条件可以转化，结论可以转化，问题可以转化……可以单独转化，可以同时转化……转化为简单的式子、简单的情况、简单的要求……5.（Ⅱ卷，理21）已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求、的值；（2）如果当x＞0，且时，，求的取值范围.【参考答案】（1）……a=1，b=1.（2）由（1）知，f（x）=+，所以.考虑函数，则.①设k≤0，由知，当时，，h(x)递减.而，故当时，，可得；当x∈（1，+）时，h（x）＜0，可得h（x）＞ 0.从而当x＞0，且x1时，f（x）-（+）＞0，即f（x）＞+.②设0＜k＜1.由于=的图像开口向下，且，对称轴x =.当x∈（1，）时，（k-1）（x2 +1）+ 2x＞0，故(x）＞0，而h（1）= 0，故当x∈（1，）时，h（x）＞0，可得h（x）＜0，与题设矛盾.③设k≥1.此时x2+1≥2x，(x）＞0，而h（1）= 0，故当x∈（1，+）时，h（x）＞0，可得h（x）＜0，与题设矛盾.综合得，k的取值范围为（-，0].·巧思·①由于，故可考虑x→1时的极限：f（x）→1，→1（此处需要运用型极限的“罗必塔法则”），于是应有f（x）＞，亦即“f（x）-＞0”，因此问题便转化为证明这个不含k的不等式成立（若成立，则k≤0），从而避免了对k的取值情况的分类讨论。

②将“f（x）-”中含有ln x的两个式子“合二而一”，并使分子与分母“分离”，则所得函数的导函数易求且简单，从而进一步节省了文字、减少了篇幅。