巧思妙解高考数学题目巧思妙解2011年高考数学题（上海卷）1.（理20,文21）已知函数f（x）=a·2x+b·3x,其中常数a,b满足ab≠0.（1）若ab＞0，判断函数f（x）的单调性；（2）若ab＜0，求f（x+1）＞f（x）时x的取值范围.【参考答案】（1）当a＞0，b＞0时，任意x1,x2∈R, x1＜x2,则f（x1）-f（x2）=a（2x1-2x2）+b（3x1-3x2）.∵2x1＜2x2，a＞0a（2x1-2x2）＜0，3x1＜3x2，b＞0b（3x1-3x2）＜0，∴f（x1）-f（x2）＜0，函数f（x）在R上是增函数.当a＜0,b＜0时,同理,函数f（x）在R上是减函数.（2）略·巧思·①利用“增函数的正数倍是增函数”、“增函数的和还是增函数”，情况1的结论便显而易见。

②利用“增函数的负数倍是减函数”、“减函数的和还是减函数”，情况2的结论便显而易见。

·妙解·若a＞0，b＞0，则a·2x和b·3x在R上递增 f（x）在R上递增；若a＜0，b＜0，则a·2x和b·3x在R上递减 f（x）在R上递减.【评注】①利用定义判断或证明固然很好，如能利用某些性质解决问题，则更显得轻松、方便。

②上述单调函数的性质经常用到，教师应向学生补充讲解，使之牢固掌握、灵活运用。

③“奇函数的和还是奇函数，偶函数的和还是偶函数”，“奇函数与偶函数的积是奇函数”，“奇数个奇函数的积是奇函数，偶数个奇函数的积是偶函数，”这些性质也应当能够掌握。

2.（文22）已知椭圆C：（常数m＞1），P是曲线C上的动点，M 是曲线C的右顶点，定点A的坐标为（2,0）.（1）若M与A重合，求曲线C的焦点坐标；（2）若m=3,求∣PA∣的最大值和最小值；（3）若∣PA∣的最小值为∣MA∣，求实数m的取值范围.【参考答案】（1）略（2）m=3,椭圆方程为.设P（x，y），则∣PA∣2 ==（-3≤x≤3）.当x=时, ∣PA∣min=；当x =-3时, ∣PA∣max=5.（3）设动点P（x，y），则∣PA∣2 ==+5（-m≤x≤m）.∵当x=m时，∣PA∣取最小值，且＞0，∴≥m，且m＞1，解得1＜m≤1+.·巧思·①利用椭圆的参数方程设点P的坐标，则将“设P（x，y）”与“代入”两步合为一步，而利用余弦函数的有界性也可求出∣PA∣的最值。

②将∣PA∣2含有m的表达式（关于x的二次函数）先化为“顶点式”，后再分别代入m的值进行运算，便避免了重复过程，而节省文字、减少篇幅。

·妙解·设P（m co sθ, sinθ）∣PA∣2 =（m co sθ-2）2 + sin2θ=（m2 -1）co s2θ-4m co sθ+ 5=（m2 -1）（2）m=3co sθ=时,∣PA∣min=；co sθ=-1时,∣PA∣max=5.（3）θ=0时, ∣PA∣最小≥1（m＞1）1＜m≤1+.【评注】①椭圆（a＞b＞0）的参数方程为x=a cosθ，y=b binθ；双曲线=1（a＞0, b＞0）的参数方程为x=a cscθ，y=b tanθ；抛物线y2=2px 的参数方程为x=2pt2,y=2pt；这些将普通方程与参数方程“互换”的手法，教师应当指导学生掌握。

②正如将多项式分解因式并非只是解答“因式分解”的习题时才使用一样，将普通方程化为参数方程也并非只是解答“方程转化”的习题时才使用。

由此及彼，其它亦然。

3.（理22）已知数列｛a n｝和｛b n｝的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+ 7（n∈N﹡）.将集合｛x│x=a n , n∈N﹡｝｛x│x=b n , n∈N﹡｝中的元素从小到大依次排列，构成数列c1, c2 , c3 ,…, c n ,….（1）求c1 , c2 , c3 , c4 ；（2）求证：在数列｛c n｝中，但不在数列｛b n｝中的项恰为a2 , c4 ,…,a2n,…；（3）求数列｛c n｝的通项公式.【参考答案】（1）略（2）①任意n∈N﹡，设a2n-1 =3（2n-1）+6=6n+3= b k =2k+7,则k=3n–2,即a2n-1 = b3n-2；②假设a2n=6n+6= b k =2k+7k=3n-∈N﹡（矛盾），∴a2n｛b n｝，∴在数列｛c n｝中，但不在数列｛b n｝中的项恰为a2 , c4 ,…, a2n ,….（3）b3k-2=2（3k-2）+7=6k+3= a2k+1 ,b3k-1=6k+5，a2k=6k+6，b3k=6k+7.∵6k+3＜6k+5＜6k+6＜6k+7，∴当k=1时，依次有b1 = a1 = c1，b2 = c2，a2 = c3，b3 = c4 ,…,∴c n=（k∈N﹡）.·巧思·①由6n+6=2k+7便知矛盾（偶数不能等于奇数），而无须化为k=3n-再判断。

②由a n=3n+6便知，a2n-1是奇数，a2n是偶数，而无须分别检验是否属于｛b n｝。

③在｛c n｝的首项前增加一项7，得新数列｛d n｝，就使得排列更加“整齐”，观察更加方便；规律更加“明显”，归纳更加容易。

·妙解·（2）题设a n＞7，a2n- 1是奇数，a2n 是偶数，｛b n｝是全体大于7的奇数命题得证.（3）令d1=7，d n+1= c n,（n∈N﹡）,则｛d n｝：7,9,11,12,13,15,17,18,19,21,23,24,….可知d4k-3=6k+1,d4k-2=6k+3,d4k -1=6k+5,d4k=6k+6c n=（k∈N﹡）.【评注】①认为“k=3n-∈N﹡（矛盾）”的依据是“整数-分数=分数，而分数≠整数”，认为“6n+6≠2k+7”的依据是“偶数+偶数=偶数，偶数+奇数=奇数，而偶数≠奇数”。

二者的依据都是显然的事实、浅显的道理，所以没有必要利用前者说明后者。

②将数列｛c n｝的首项“扩充”为易于分析的新数列｛d n｝，此法可以推广使用。

4.（文23）已知数列｛a n｝和｛b n｝的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+ 7（n∈N﹡）.将集合｛x│x=a n , n∈N﹡｝｛x│x=b n , n∈N﹡｝中的元素从小到大依次排列，构成数列c1, c2 , c3 ,…, c n ,….（1）求三个最小的数，使它们既是数列｛a n｝中的项，又是数列｛b n｝中的项；（2）数列c1, c2 , c3 ,…, c40中有多少项不是数列｛b n｝中的项？请说明理由；（3）求数列｛c n｝的前4n项和S4n.【参考答案】（1）设a m=b n（m,n∈N﹡），即3m+6=2n+7, ∴n=,∴m应该是奇数，∴当m=1,3,5时，对应｛x│x=a n , n∈N﹡｝｛x│x=b n , n∈N﹡｝中的三个最小的数依次为a1 =9, a3 =15, a5 =21,即三项分别为9,15,21.（2）列表：n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 …a n9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 …b n9 113 15 17 19 21 23 25 27 29 31 …1可知6是数列｛c n｝在自然数中的截取周期，即在从9开始连续的6个自然数中，第一个一定是｛a n｝与｛b n｝的公共项，第二个不存在于｛c n｝中，第三个一定是｛b n｝中的项，第四个一定是｛a n｝中的项，第五个一定是｛b n｝中的项，第六个不存在于｛c n｝中.这样的话，｛c n｝是以4为截取周期的，故｛c n｝的通项公式为c n=（k∈N﹡）.故不是｛b n｝中的项只占了，这样在c1到c40中只有10项不在｛b n｝中.（3）∵b3k -2 =2（3k-2）+7=6k+3，b3k -1 =6k+5，a2k =6k+6，b3k =6k+7，∴c n=（k∈N﹡）.∴c4k-3+c4k-2+c4k -1+c4k=24k+21，S4n=（c1+c2+c3 +c4）+…+（c4n-3+c4n-2+c4n -1+c4n）=24×+21nk=12n2+33n.·巧思·①由3m+6=2n+7便知m应是奇数，而无须化为n=后再予判断。

②在｛c n｝的首项前增加一项7，得新数列｛d n｝，就使得排列更加“整齐”，观察更加方便；规律更加“明显”，归纳更加容易。

③将“｛c n｝的前4n项和”看成“｛d n｝的前4n+1项和与首项之差”，便可利用｛d n｝的“整齐”排列和“明显”规律进行计算。

④将（1）（2）（3）合并解答，则既避免了含义重复的叙述，从而节省文字、缩减篇幅，又显得前后连贯、联系密切、节奏紧凑。

·妙解·令d1=7,d n+1= c n,（n∈N﹡）,则｛d n｝：7,9,11,12,13,15,17,18,19,21,23,24,….可知：（1）所求三个数为9,15,21.（2）数列c1, c2 , c3 ,…, c40中共有10项不是数列｛b n｝中的项.（3）d4k-3=6k+1,d4k-2=6k+3,d4k -1=6k+5,d4k=6k+6S4n===12n2+33n.【评注】①“n=m应该是奇数”的依据是“奇数±奇数=偶数”，“3m+6=2n+ 7m是奇数”的依据也是“奇数±奇数=偶数”，所以没有必要利用前者说明后者。

②原解法是列出表格“看出”规律来的，新解法也可写出数列“看出”规律来。

【小结】①数学是美的，“简洁美”是其中之一，也是主要的数学美，解决数学问题应当——力求简明、简便、简洁、简单，力求创优创新、尽善尽美。

亦即：应当——探求尽可能简明的思路、尽可能简便的解法，探求尽可能简洁的语句、尽可能简单的表述。

②如果某个问题的解答过程较复杂、步骤较冗长，我们就要思考：这个解法算得上“较好”吗？“很好”吗？“极好”吗？还能够“改变”吗？“改造”吗？“改进”吗？精品好文档，推荐学习交流亦即：教师传给学生的知识，不仅应当是“正品”，而且还应当是“精品”、“极品”。

③如同长跑比赛不仅是比耐力、而且是比速度一样，数学高考不仅测验“会不会”，而且测验“好不好”、“快不快”：看你能否在很短的时间内顺利地完成答卷。

因此，探求“巧思妙解”就不仅仅是理论上的需要，而且更是实际的需要、迫切的需要。

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