2、棱镜的分辨率
假定光谱仪的光学系统理想无像差，且棱镜作为 系统中限制光束的孔径光阑，当入射狭缝无限细 时，由棱镜孔径的衍射导致的谱线增宽就表征了 棱镜的分辨率极限。 由瑞利准则确定的分辨率为：
d R D' d
瑞利判据 两强度分布轮廓相同的谱线的最大值和最 小值重叠时刚好可以分辨
1 sin i1 1 sin i2 ' 2 2 2 2 n sin i1 n sin i2 '
2 2
该式只有在i1 i2 '时成立
最小偏向角条件
i1 i2 ' i1 ' i2 2i1 '
达到最小偏向角时通过棱镜的光路完全对 称，棱镜内部光线平行于棱镜底边。 可以将最小偏向角条件改写为：

2
cos i1
代入得
dn R t d
同理，若m个棱镜依次排 列，并均处于最小偏向角 位置时，有
dn R mt d
dn R mt d
增大棱镜分辨率的方法： 增大棱镜底边t； 增加棱镜个数m 用色散率dn/dλ大的材料
当光束没有充满棱镜时，
dn R (t1 t 2 ) d
式中 dn / d 为棱镜材料的色散率，表示介质 折射率随波长变化的程度。
(*)式是棱镜角色散率的一般表达式 (适用于任意入射 角情况) 。
sin i2 ' n sin( i1 ' ) n(sin cosi1 ' cos sin i1 ' )
当棱镜位于最小偏向角度时，有 sin i1 n sin
3、棱镜的横向放大率
当光束不是以最小偏向角条件通过棱镜 时， i2 i1 , D D ，这种现象称为棱镜的横向放 大或角放大。
棱镜的横向放大率Γ可表示为出射角增量和入 射角增量之比。
di2 ' cosi1 cosi2 di1 cosi1 ' cosi2 '
di2 ' cosi2 cosi1 di2 (*) di1 cosi2 ' cosi1 ' di1 '
i1 arcsin(n sin i2 )
sin i1 i1 arcsin{n sin[ arcsin( )]} n
n
对于所有透明材料，折射率n一般随着波长的减小而 增大。波长越短偏向角越大。
i1 i2
i2 arcsin(n sin i2 )
f 2 n 2(n 2 1)
2
1 n sin
2
2

2
sin

2
棱镜材料的折射率越大，光谱线弯曲的半径越 小；对于给定棱镜，波长越短光谱线越弯曲。
OHQ 处于子午面内 OHQ MHQ MOH MOQ 90
di2 ' cosi2 cosi1 di2 两式相除得到 (*) di1 cosi2 ' cosi1 ' di1 '
由于i2 i1 ' di2 di1 '(2)
cosi2 cosi1 (1)(2)代入(*)得 1 cosi2 ' cosi1 '
sin i1 n sin i1 将上式平方，利用 sin i2 n sin i2
附：光谱仪的理论分辨率
在棱镜和光栅光谱仪中，一般都以色散元件 的口径作为光学系统的孔径光阑，并且多数 是矩形；设孔径光阑的宽度为D’
光谱仪的理论分辨率为色散元件的角色散率和有效 孔径色散作用面上的宽度D’的乘积。
则当含有波长差为 的平行光以满足最小偏向角 条件通过棱镜时，用最小偏向角位置的色散率表达 式代入，得
由i2 i1 ' di2 di1 '(2)
对于顶角一定的棱镜，Γ随入射角的增加而减小。 当棱镜位于最小偏向角时，Γ=1
4、棱镜的非主截面色散——谱线弯曲
光谱线是狭缝的单色象，虽然狭缝是直的， 但在光谱面上的光谱线却是弯曲的，而且波 长越短的谱线弯曲越严重，这表明沿着狭缝 高度，即使同一波长的光束其色散率也不同。 通常光谱仪狭缝的中点位于光学系统的光轴 上，从狭缝中点射出的光束经过准直后照射 到棱镜上与棱镜的折射面垂直，因此通过棱 镜的主截面。
顶角
i1 i2 ,
sin i1 i2 arcsin( ) n
偏向角
(i1 i1) (i2 i2 ) i1 i2 (i1 i2 ) i1 i2
i2 arcsin(n sin i2 )
得到棱镜的色散公式：
d d dn （m为棱镜的个数） 2 2 d 1 n sin 2 2 2m sin

d d
dn 2 2 d 1 n sin 2 2

2m sin

可见，增大棱镜的色散率有如下方法：
1 增大棱镜折射顶角，但不能过大， sin 2 n
否则光线在第二折射面将引起全反射； 选用折射率大、色散率大的材料； 增加棱镜个数； 使棱镜偏离最小偏向角位置，即减小光线入 射棱镜的角度（但采用这种方法会使部分光线 在棱镜底边反射，增加杂散光）。
第二章 光谱仪器的色散系统
• • • • 光谱棱镜系统 平面衍射光栅系统 凹面衍射光栅系统 阶梯光栅系统
光谱棱镜系统
与光栅相比，（光谱）棱镜的优势 没有光能分散于不同级次的问题 没有迭级、鬼线问题
缺点： 色散不高，主要用于不需要大色散的光 谱仪器
Outline
一、光谱棱镜的分光原理
1、色散公式；2、最小偏向角条件。
二、光谱棱镜的基本特征
1、角色散率；2、分辨率；3、横向放大率； 4、谱线弯曲。 三、光谱棱镜的基本类型
四、光谱棱镜的材料
五、光谱棱镜的光能损失
一、光谱棱镜的分光原理
1、色散公式
n0 sin i1 n sin i1 sin i1 n sin i1 n0 1 n0 sin i2 n sin i2 sin i2 n sin i2
d d
dn 2 2 d 1 n sin 2 2
2m sin

由上述公式可以计算波长范围 1 ~ 2 内展 开的角宽度 对玻璃，哈特曼
2m sin
2
2
2
1 n sin n n1 n2 n n1 n2 2

2
n
Hartman公式 C n n0 ( 0 )1 可见光区
二、光谱棱镜的基本特征
1、棱镜的角色散率 入射角 i1 确定时，不同波长的光线偏向角不 同，棱镜的角色散率定义为： d / d 由偏向角、顶角、入射角关系有:
i1 i2 '
将i1和 作为常量，对λ进行微分 d di2 ' 又 i1 i2 i2 i1 d d sin i2 ' n sin( i1 ' ) n(sin cosi1 ' cos sin i1 ' )
从狭缝中心和从狭缝两端发出的光的路径比较
主截 面

d d ( ) d d
d d
即边缘光线因其经过非主 截面故其角色散率更大。
dn 2 2 d 1 n sin 2 2
2m sin

棱镜谱线弯曲，且两端朝短波方向弯曲。为什么？ （1）边缘光线因其经过非 主截面其角色散率更大 （2）在同一截面上，波长 短的紫光的角色散率大于 波长长的红光的角色散率
sin i1 将 cosi1 ' 1 sin i1 ' 1 代入 2 n
2
2
得到sin i2 ' sin n 2 sin 2 i1 cos sin i1 di2 ' sin 对n求微分，整理得到 dn cosi ' cosi ' 1 2 d di2 ' di2 ' dn sin dn 则 () d d dn d cosi1 ' cosi2 ' d
d di2 ' 对i1求导 1 di1 di1
d di2 ' 令 ＝0 1(1) di1 di1
又
sin i1 n sin i1 ' cosi1di1 n cosi1 ' di1 ' sin i2 ' n sin i2 cosi2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ' di2 ' n cosi2 di2
i1 i2 ' i1 ' i2 2i1 '

2
d d
dn 2 2 d 1 n sin 2 2
2 sin

d di2 ' di2 ' dn sin dn () d d dn d cosi1 ' cosi2 ' d
当有多个依次排列的位于最小偏向角的棱镜时
dn C d ( 0 ) 2
棱镜组的角色散率
由多个棱镜顺序放置在空气中组成的棱镜组，其总角色 散率一般不等于各棱镜角色散率的简单相加。
有m个棱镜组成的系统，棱镜不位于最小偏向角位置， 当以平行光束透射到棱镜，类似推导单个棱镜角色散 率的方法，可以得到光束通过m个棱镜后的总角色散 m 率为： d d m j d 总 k 1 d k j k 1 当m个棱镜均处于最小 偏向角位置时，横向放 大率Γj=1 d d m d 总 d j
sin i1 n sin

2
在设计棱镜光谱仪时，通常选择光谱范围 中间波长满足最小偏向角条件（注意：仅 某特定波长满足） 为何选择满足最小偏向角条件？ 光路对称，便于设计； 光路对称，棱镜产生的像差（球差、像 散等）最小； 光路对称，对满足条件的特定波长，棱 镜不产生附加的横向放大率； 孔径一定时，可以使棱镜的有效部分形 状对称，尺寸最小。