2
当函数f (t)在t<0时没有定义或者不需 要知道时, 可以认为当t<0时, f (t)0. 这时, Fourier变换的表达式为
[ f (t )] f (t )eitdt. 0
但是仍然需要f (t)在[0, )上绝对可积的条件，
这个要求限制了它的应用.
对定义在 [0,) 上的函数 f (t), 如果考虑
L[sin kt] sin kt estd t 0 1 (e jkt e jkt ) estd t 2j 0
j e(sjk)td t e(sjk)td t
20
0
j
2
s
1 jk
s
1 jk
s2
k
k2
,（Re(s)>0）
k L[sin kt] s2 k 2
5
§1 Laplace变换的概念
设指数衰减函数
(t
)
0, e
t
,
t0
( 0).
t0
考虑 f t t ,,有 f t u t =f t t 0.
若存在 0,使 lim et f t =0,则 + et f t dt .
t
-
那麽 f t u t et的傅氏积分总是存在的。
F [ f (t)u(t)et ] f (t)u(t)ete jtdt
0
0
这个积分在Re(s)>k时收敛, 而且有
e(sk )td t 1 e (sk )t 1
0
sk
0 sk
所以 L[ekt ] 1 (Re(s) k). sk
其实k为复数时上式也成立, 只是收敛区间为
Re(s)>Re(k)
10
练习: 求单位斜坡函数
的拉氏变换 。
t
t
u
t
0,
t,
t0 t0
同理可得
L[cos kt]
s2
s k2
15
例4 求 f (t) tn (n 1)的Laplace变换.
解 如果n是正整数, 则有
t n
n! sn1
(Re(s) 0).
tn
n! sn1
当 n 1 不是正整数时, 利用复变函数论的
方法, 可求出
[tn]
1 sn1
(n
1)
(Re(s) 0),
|f (t)| M e ct, 0 t < 则 f (t)的拉氏变换
F (s) f (t) estd t 0
在半平面Re(s)>c上一定存在, 并且在Re(s) > c的 半平面内, F(s)为解析函数.
12
Mect f (t)
M
O
t
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说明：由条件2可知, 对于任何t值(0t<), 有
| f (t)e st |=| f (t)|et Me(c)t, Re(s)=,
f (t)e( j)tdt s j f (t)estdt F s
0
0
6
f (t)
O f (t)u(t)et
O
t
t
7
1. 定义：
设 f (t)是[0,)上的实(或复)值函数，若对参数
s j, F (s) f (t)estdt 在s平面的某一区域 0
内收敛，则称其为 f (t)的Laplace变换，记为
若令c e >0 (即 c+e = c1>c), 则
| f (t)est| Meet.
所以
f (t) est d t
M
eetd t
M
.
0
0
e
注1:大部分常用函数的Laplace变换都存在(常义下); 注2:存在定理的条件是充分但非必要条件.
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例3 求 f (t)=sinkt (k为实数) 的拉氏变换
这个积分在Re(s)>0时收敛, 而且有
estd t 1 est 1
0
s0 s
所以 L[u(t)] 1 (Re(s) 0). s
9
例2 求指数函数 f (t)=e kt 的拉氏变换(k为实数).
根据拉氏变换的定义, 有
L[ f (t)] ektestd t e(sk )td t
第2章 Laplace变换
§2.1 Laplace变换的概念 §2.2 Laplace变换的性质 §2.3 Laplace逆变换 §2.4 Laplace变换的应用
1
Fourier变换在许多领域中发挥着重要的作用, 但是在通常意义下，Fourier变换存在的条件需要 实函数f (t)在(-,+)上绝对可积. 很多常见的初等 函数(例如，常数函数、多项式函数、正弦与余弦 函数等)都不满足这个要求. 另外，很多以时间t 为 为自变量的函数，当t<0时，往往没有定义，或者 不需要知道t<0的情况. 因此, Fourier变换在实际 应用中受到一些限制.
解
(t ) testdt 0
= 1 tes t 1 estdt
s
0 s0
1 s2
Re s 0
(t)
tu( t )
1 s2
11
2.拉氏变换的存在定理 若函数f (t)满足: (1) 在t 0的任一有限区间上分段连续; (2) 当t时, f (t)的增长速度不超过某一指数函 数, 即存在常数 M > 0及c 0, 使得
L[ f (t)] F s f (t)estdt 0
f (t)称为F (s)的Laplace逆变换，记为f (t) L1[F (s)]. F (s)称为象函数，f (t)称为象原函数.
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例1
求单位阶跃函数
u(t)
0 1
t 0 的拉氏变换. t 0
根据拉氏变换的定义, 有
L[u(t)] estd t 0
f (t )et , t 0
可能有意义.
4
f1(t) 的Fourier变换可表示为
f (t )e teitdt f (t )e( i )tdt.
0
0
将 i 记为s, 可写成
F (s) f (t)estdt. 0
这就是本章要讨论的Laplace变换, 它放宽了对函 数的限制并使之更适合工程实际, 并且仍然保留 Fourier变换中许多好的性质, 更实用、更方便.
f1(t) f (t)et ( 0),
3
那么 f1(t) 容易满足在[0, )上绝对可积的 要求. 例如，f (t)为常数、多项式、正弦与余弦
函数时,
f1(t ) f (t )et ( 0)
都在 [0,)上绝对可积. 这是因为 t 时, et
是衰减速度很快的函数，称它为指数衰减函数.
如果 0 取得适当大，那么
其中 (n 1) xne xdx 是函数. 0
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周期函数和d 函数的Laplace变换