浙江大学
复数的乘幂
n个相同复数z的乘积成为z的n次幂
z
n
z n = zzLz = r n (cos nθ + i sin nθ)
复数的方根
设
iθ
z = re
为已知复数，n为正整数，则称满足方程
w =z
n
的所有w值为z的n次方根，并且记为
w= n z
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设
w= ρeiϕ ,
则
ρ neinϕ = reiθ
w0 = r (cos + i sin ) n n 1 θ + 2π θ + 2π n w1 = r (cos ) + i sin n n 1 θ + 4π θ + 4π n w2 = r (cos + i sin ) n n
1 n
1 n
θ
θ
wn−1 = r (cos
θ + 2(n −1)π
n
+ i sin
Re z 2 = x2 − y2 ≤ 1
Im z 2 ≤ 1
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例： 指出不等式 0 < arg 解：
z −i π < 中点z的轨迹所在范围。 z +i 4
z −i x2 + y2 −1 − 2x = 2 +i 2 2 z + i x + ( y +1) x + ( y +1)2
z −i π 因为 0 < arg < , 所以 z +i 4 +i x2 + y2 −1 − 2x > 2 >0 2 2 2 x + ( y +1) x + ( y +1)
于是有
− 2x > 0 2 x + y2 −1 > 0 x2 + y2 −1 > −2x
x<0 x2 + y 2 > 1 (x +1)2 + y2 > 2
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它表示在圆 (x +1)2 + y2 > 2 外且属于左半平面的所有点的集合
i
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复变函数
复变函数的定义 设 D 是复变数z的一个集合，对于 D 中的每一个z，按 照一定的规律，有一个或多个复数w的值与之对应，则称 w为定义在 D 上的复变函数 复变函数，记做 复变函数
θ0 = arg z
2）复数“零”的幅角没有意义，其模为 零。 3）当 r = 1时，复数z称为单位复数。 利用复数的三角形式或指数形式作乘除法比较方便。
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设
z1 = r1 (cosθ1 + i sin θ1 ), z2 = r2 (cosθ2 + i sin θ2 ) z1z2 = r1r2 (cosθ1 + i sin θ1 )(cosθ2 + i sin θ2 ) = r1r2[cos(θ1 +θ2 ) + i sin( θ1 +θ2 )]
定理
z1z2 = z1 z2
y
z1z2 z1
z2
O x
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Arg(z1z2 ) = Arg(z1 ) + Arg(z2 )
注意多值性 注意多值性
指数形式表示
z1z2 = r1e r2e
iθ1
iθ2
= r1r2e
i (θ1 +θ2 )
推广至有限个复数的乘法
z1z2 Lzn = r1eiθ1 r2eiθ2 Lrneiθn = r1r2 Lrne
z = z1 + t(z2 − z1 ),
(0 ≤ t ≤ 1)
（2）过两点 z1 和z2的直线L的参数方程为
z = z1 + t(z2 − z1 ),
(−∞ < t < +∞)
（3）z1、z2，z3 三点共线得充要条件为
z3 − z1 = t, z2 − z1
(t为 非 实 ) 一 零 数
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α
B = z(β )
简单曲线： 简单曲线： 简单闭曲线： 简单闭曲线： 光滑曲线： 光滑曲线： （12）单连通区域
t1 ≠ t2 , ⇒ z(t1 ) ≠ z(t2 )
没有交叉点。
x′(t), y′(t)存 、 续 不 为 在 连 且 全 零
设D为复平面上的区域，若在D内的任意简单闭曲线的内部 单连通区域，否则称多连通区域。 仍属于D，则称D为单连通区域 单连通区域
r = x2 + y2 y θ = arctan x
(cosθ + i sin θ )
z = reiθ
复数的 模 复数的 幅角
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r= z
θ = Arg z
讨论： 讨论：
1) 复数的幅角不能唯一地确定。任意非零复数均有 无穷多个幅角。通常把
−π < θ0 ≤ π
的幅角称为Arg z的主值。记为
ρ =r
n
e
inϕ
=e
iθ
ρ = n r , nϕ = θ + 2kπ , k = 0,±1,±2,L
即
ρ = r, ϕ =
n
θ + 2kπ
n
1 n
,
k = 0,±1,±2,L
+ i sin
w = re
n
i
θ +2kπ
n
= r (cos
θ + 2kπ
n
θ + 2kπ
n
)
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当k＝0，1，2，…，n－1时，得到n个相异的根：
例： 考察下列方程（或不等式）在平面上所描绘的几何图形。 （1） z − 2i = z + 2 该方程表示到点2i和－2距离相等的点的轨迹，所以方程 表示的曲线就是连接点2i 和－2的线段的垂直平分线， 它的方程为y = －x。
( （2） Im i + z) = 4
设 z = x+ iy,
Im i + z) = Im x + i(1− y)) = 4 ( (
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（10）有界区域 如果存在正数M，使得对于一切D中的点z，有
z ≤M
则称 D为有界区域。 （11）简单曲线、光滑曲线 简单曲线、 简单曲线 点集
{z : z = z(t) = x(t) + iy(t),α ≤ t ≤ β}
β
z = z(t) A = z(α)
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称为z平面上的一条有向曲线。
w = f (z)
(z ∈ D)
单值函数 f(z): 对于D中的每个z，有且仅有一个w与之对应。 多值函数 f(z): 对于D中的每个z，有两个或两个以上 w 与之 对应。
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w = f (z) : D → G
定义： 定义：
我们主要考虑单值函数
f(z)是单射 单射（或一对一映射） 单射 对于任意 z1 ≠ z2 , f(z)是满射 满射 f(z)是双射 双射
i(θ1 +θ2 +L θn ) +
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除法运算
z1 ≠ 0
z2 z2 = z1 z1
z2 z2 = , z1 z1
或者
z2 z2 = z1 z1
z2 Arg z2 = Arg + Arg z1 z1 z2 Arg = Arg z2 - Arg z1 z1
z2 r2 i(θ2 −θ1) = e z1 r1
θ + 2(n −1)π
n
)
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例： 3
−8
− 8 = 23 (cosπ + i sin π )
3
− 8 = 2(cos
π + 2kπ
3
+ i sin
π + 2kπ
3
) k = 0,1,2
即
3
+i 3 k = 0 1 −8 = − 2 k =1 1− i 3 k = 2
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z1 x1 + iy1 x1 + iy1 x2 − iy2 = = z2 x2 + iy2 x2 + iy2 x2 − iy2
=
(x1x2 + y1 y2 ) + i(x2 y1 − x1 y2 )
x2 + y2
2 2
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律 加法交换律、 乘法交换律、 均成立。 乘法交换律、结合律和分配律 均成立。
∞Hale Waihona Puke ∞ = +∞z ± ∞ = ∞, ∞ ± z = ∞,L
∞ ± ∞, ∞ ÷ ∞, ∞ ⋅ 0,
约定无穷远点的实部、虚部及幅角都没有意义；另外 等也没有意义。
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复平面点集与区域
（1）邻域 （2）去心邻域 （3）内点 点z是点集E的内点 存在z的某个r邻域含于E内，即 （4）外点 点z是点集E的外点 存在z的某个r邻域不含E内的点
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平面图形的复数表示
很多平面图形能用复数形式的方程（或不等式） 来表示；也可以由给定的复数形式的方程（或不等 式）来确定所表示的平面图形。 例：Z平面上以原点为中心、R为半径的圆周方程为
z =R
Z平面上以 z_0为中心、R为半径的圆周方程为
z − z0 = R
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例： （1）连接z 和z 两点的线段的参数方程为 1 2
z1z2 = z1 z2
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d) 复平面 一对有序实 数（x，y）
平面上一点P
复数 z = x + i y 实轴、 虚轴、复平面 Z 平面、 w 平面 O